폴리매스

집합과 연산에 대한 군이라고 하면, 다음과 같은 조건을 성립하면 만족한다.

1)그 연산이 그 집합에 대해서 닫혀있다.

2)그 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.

3)항등원이 존재한다.

4)그 집합에 속한 원소 x에 대해 역원 x'이 존재한다.

항등원이란, 그 집합에 속하는 원소 a에 대해서 연산을 *라 하고, 다른 원소를 e라 하면

a*e=e*a=a를 만족하면 e는 항등원이다.

역원이란, 그 집합에 속하는 원소 a에 대해서 다른 원소를 a'이라 하면

a*a'=a'*a=e를 만족하는 a'을 a의 역원이라고 한다.

(1)다음과 같은 조건을 만족하는 집합 G와 연산 *이 있다.

1)*은 G에 대해서 닫혀있고, 결합법칙이 성립한다.

2)G의 원소인 a에 대해 e*a=a가 성립하는 G의 원소 e가 항상 존재한다.

3)G의 원소인 x에 대해 x'*x가 성립하는 G의 원소 a'이 항상 존재한다.

이 때, (G,*)이 군임을 증명하시오.

(2)다음과 같은 조건을 만족하는 집합 G와 연산 *이 있다.

1)*은 G에 대해서 닫혀있고, 결합법칙이 성립한다.

2)G에 속하는 임의의 원소 a,b에 대해 x*a=a*y=b가 성립하는 x,y가 항상 존재한다.

이 때, (G,*)이 군임을 증명하시오.