폴리매스

우선, 원을 이용해 접근한 것이 굉장히 좋습니다. 임의의 두 점 사이의 거리가 1보다 크다고 했으므로 반지름이 1인 원을 그릴 경우 두 원이 겹치는 것은 상관없습니다. 다만 반지름 1인 원 속에 다른 점이 들어가지 않아야 합니다. 또한 원 바깥쪽에만 점이 위치할 필요는 없고 안쪽에도 위치할 수 있다는 점을 고려해야 합니다.

처음부터 저도 답을 모르는 문제이며, 함께 참여하며 풀고자 하는 문제라고 했으므로 저도 공개적으로 아이디어를 남기겠습니다.

1-1 문제의 경우 저는 답을 19로 추측하고 있었습니다. 아래 그림과 같이 배치할 경우 19개 점을, 임의의 두 점 사이의 거리가 1보다 크게 배치할 수 있습니다.

또한 힐라슨 님의 아이디어에서 각 점에 대해 그 점을 중심으로 하는 원의 반지름을 1/2라고 하면 임의의 두 원이 겹치지 않아야만 하므로 사용하신 아이디어를 그대로 다시 쓸 수 있을 듯합니다. 이 경우, 엄밀한 표현은 아니지만 바깥쪽에 점이 12개까지 들어갈 수 있을 것입니다.

풀이를 읽어보니 1-1에서 사용한 방법으로 원의 가장자리에 점을 배치한 후 안에 다시 작은 원을 만들어 같은 방법으로 가장자리를 배치하는 과정을 반복한다는 내용인 것 같습니다.

1-1에서처럼 문제에서 임의의 두 점 사이의 거리를 1 이하로 설정했으므로 반지름을 1/2로 줄여야 하는 점은 동일하고, 그 다음에 두 가지 증명해야 하는 사항이 있습니다.

먼저 저 식이 나온 과정이 분명하지 않습니다. 작은 원의 크기를 구해서 1-1의 방법을 사용하여 구한 것 같은데, 식을 유도한 방법을 좀 더 분명히 나타내 주시면 좋을 것 같습니다.

또한 밖에서 안으로 원을 넣어가며 채운다는 방식이 직관적으로는 굉장히 좋은 방법이고, 실제로 위의 1-0 문제의 해답이나 1-1 문제에서 제가 추측한 방법에서도 사용되었듯 효율이 좋은 방법이기는 합니다. 그러나 중요한 점은 '이보다 좋은 방법이 없다' 고 단정짓는 데는 증명이 필요하다는 것입니다. 만약 r이 매우 커지게 되면, 잘 알려진 '평면에 원을 채우는 문제' 로부터 바깥쪽 극히 일부분을 제외하고는 안쪽을 규칙적인 삼각형 테셀레이션 식으로 배치하는 것이 효율적일 것입니다.

힐라슨 님의 접근을 통해 대략적인 값을 추정할 수 있을 듯합니다. 이제 이 방법을 완성된 답으로 만들기 위해서, 점의 개수에 대해 상계와 하계를 잡고 그 차이를 줄여나가 추정했던 값으로 수렴시키는 과정을 거치면 1-2번의 답을 찾을 수 있을 것 같습니다.