*KPP 게시판에 잘못 올라가서 새로 올라온 글입니다. 기존 게시판에 댓글 남겨주셨던 space님의 답안은 그대로 응모되었으며 댓글로 달아두겠습니다.
[킹앤포 10월호]
안녕하세요 수학동아입니다.
POSTECH 마르쿠스가 직접 출제하는 퀴즈킹앤포스텍 문제를 풀어보세요!
퀴즈에 참여해주신 분 중 추첨을 통해 선물을 드립니다.
한 문제만 풀어도 좋으니 여러분의 풀이를 보여주세요!
정답이 아닌 기발한 오답도 대환영입니다. 정답이 없으면 기발한 오답을 제출한 분께 선물을 드려요!
킹앤포 문제 풀이에 참여하고 싶은 분은
이 게시물의 비밀댓글로 이름, 연락처, 주소와 함께 풀이를 남겨주세요 ^^
QUIZ 1)
미니 운동회 결과 윤재가 1등, 탁일이 2등, 종호가 3등, 태형이 4등을 했다. 회장 동준은 네 사람에게 선물 상자 네 개를 보여주면서, 이 중 하나에는 상금 10만 원이, 다른 세 개에는 기념 머그컵이 있다고 말했다. 윤재부터 등수 순서대로 선물을 고를 수 있으며, 모두 선물을 받으면 회장은 머그컵을 고른 사람들의 선물을 하나씩 개봉한다. 선물이 하나씩 개봉될 때마다 남은 사람들 중 순위가 가장 높은 사람은 다른 한 명과 선물 교환을 할 수 있다. 윤재가 상금을 획득하기 위해 할 수 있는 최선의 전략은 무엇인가?
QUIZ 2)
쉬는 시간 동안 다같이 점심을 먹는다. 참가한 사람은 총 41명이며 그 중에서 신입부원은 25명, 기존 회원은 16명이다. 테이블은 총 11개고 한 테이블에 최대 4명이 앉을 수 있다. 회장은 다음 조건에 따라 밥 먹을 팀을 정하라고 지시했다.
a. 한 테이블에 최소 세 명은 앉아야 한다. b. 기존 회원이 신입부원보다 많은 테이블은 없어야 한다. c. 모든 테이블을 활용해야 한다.
그렇다면 인원 배치는 어떻게 해야 할까?
수리논술문제)
식사 후 종이컵에 물을 마시던 윤재는 순간 힘을 잘못 주는 바람에 오목해진 종이컵 밖으로 물이 넘치고 말았다. 윤재는 같은 둘레를 가진 종이컵이라도 오목한 모양보다 원 모양컵의 단면적이 더 넓다는 사실에 흥미를 느껴 다음 문제를 생각해냈다. 평면에서 같은 둘레를 가진 도형 중에서 오목한 모양의 도형이 넓이가 가장 크지 않다는 사실을 증명하라. *힌트: 도형이 볼록하다는 것은 그 도형에서 임의의 두 점을 잡을 때 두 점을 잇는 선분에 있는 모든 점이 그 도형 위에 있다는 뜻이다. 오목하다는 것은 볼록하다는 조건을 만족하지 않는 것으로, 별 모양이나 초승달 모양이 오목한 도형이다.
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분량 문제로 수학동에 싣지 못한 퀴즈 1번 문제의 답을 공개합니다!
답을 보고싶지 않으시다면 스크롤을 멈추세요!
나머지 문제의 답은 수학동아 2020년 11월호에서 확인할 수 있습니다!
퀴즈1의 답은 '첫 라운드에서는 교환, 그 다음 라운드에서는 유지하는 것'입니다.
윤재가 처음에 바로 탈락하는 경우는 전략의 의미가 없으므로 고려하지 않는다. 윤재가 처음에 선택되지 않았다면 윤재에게는 두 가지 선택권이 있다. 만약 윤재가 그대로 유지한다면 윤재는 처음부터 상금을 선택해야 하므로 윤재가 상금을 선택할 확률은 1/4이다. 만약 윤재가 교환을 시도한다면 윤재가 처음에 머그컵을 골라야 하고 남아있는 두 사람 중 한 명이 상금을 가지고 있으므로 윤재가 상금을 선택할 확률은 3/4 × 1/2 = 3/8이다.
여기서 윤재가 탈락할 확률은 윤재가 위의 전략에 따랐을 때 머그컵을 고를 확률의 절반이다. 따라서 윤재가 교환 전략을 사용했다면 5/8 × 1/2 = 5/16이고, 유지했다면 3/4 × 1/2 = 3/8이다. 그 다음 라운드에서도 윤재에게는 두 가지 전략이 있다. 여기서도 그대로 유지한다면 윤재는 전 라운드의 전략에 의해 상금을 선택했어야 한다. 만약 교환을 시도한다면 전 라운드에서 윤재가 머그컵을 골랐어야 한다. 정리하면 아래와 같다.
교환-교환 전략으로 상금을 얻을 사건의 확률: 5/16
교환-유지 전략으로 상금을 얻을 사건의 확률: 3/8
첫 라운드의 교환 전략으로 탈락할 확률: 5/16
유지-교환 전략으로 상금을 얻을 사건의 확률: 3/8
유지-유지 전략으로 상금을 얻을 사건의 확률: 1/4
첫 라운드의 유지 전략으로 탈락할 확률: 3/8
따라서, 첫 라운드에서는 교환, 그 다음 라운드에서는 유지하는 것이 가장 좋은 전략이다.
