폴리매스

계산중에 발견한 건데 검은색 으로 칠해진 5각형 갯수를 기준으로 하나하나 해봐야 할것 같아요.

예를 들어 정오각형 2개만 검은색으로 칠하면

축구공에서 오각형에 검은색 칠하기(고정X):2가지?

검은색을 고정한 후에 남은 정오각형 흰색으로 색칠하기 1가지

정육각형 20개중 10개를 검은색으로 칠하기 20C10 / 2가지 (여기서만인데 그 이유는 검은색 정오각형이 2개만 있으면 양쪽으로 같은게 있어서2로 나눴습니다. 정오각형이 3가지일때도 있겠죠.그때는 노가다가 좀 필요할것같아요.)

남은 정육각형 흰색으로 칠하기 1가지

이래서 20C10 가지가 되요.

이 풀이는 제가 아까 썻던거로 안풀었어요.

나머지도 구해보겠습니다. 시간이 좀 걸리겠네요.

제생각엔 2,3번이 그나마 쉬울 것 같고, 다를 방법으로는 한 도형을 기준으로 해서 구하는 방법이나, 전개도로 펼쳐 구하는 방법이 있을 것 같아요.

기준이 한 개일때는 단순하지만, 기준이 5~6개로 올라가면 더 복잡해지고, 공을 돌렸음에도 불구하고, 똑같은 모양이 나와서 약간의 오차가 있지 않을까요?

아니오

그렇게 풀면 간단합니다.

밑에 댓글로 풀이 달았습니다.

이 문제에서는 검은색과 흰색의 개수를 정해 두었다는 것을 잊지 말아주세요! 또한, 돌렸을 때 같은 것이 나올 수도 있어요. 다시말해 그러한 방식으로 문제를 생각한다고 해도 보다는 커질 것이라는 이야기죠

같은 32 면체라도 근데 한면이 다른면과 몇개 맞닿아 있는지는 다 차이가 있어서 무작정 32면체에서 생각하면 안될것 같아요! ㅎㅎ

또, 깎은 정이십면체인 축구공은 오각형과 육각형의 배열이 반복되고 있어서 축구공의 배열이 겹치는 경우가 많고, 다양하다는 특징이 있죠.

그...렇군요..

좋은 의견 감사합니다!

좀 더 /수학적으로 정확한 풀이를 써 보았습니다.

안녕하세요! 검토가 늦어져서 미안합니다~!

기존에 검토 요청이 들어왔는데 검토되지 않은 문제들을 다시 찾아보고 있습니다.

김다인 멘토가 제출한 풀이를 검토한 결과 다음과 같은 코멘트를 줬어요.

"깔끔하게 잘 풀어주었어요! X의 원소가 60개밖에 없는 이유를 설명해주면 완벽할 것 같아요^^ 그리고 tau가 아마 꼭짓점이 아니라 모서리여야 될 것 같은데 사소한 오타로 보입니다."

근데 이 정도면 해결 붙여도 되지 않을까요? X의 원소가 60개인걸 보이는건 undefined님 풀이에서 회전변환의 개수를 다 더하면 쉽게 알 수 있어서 해결 처리해도 될 것 같은데요...

좋은 지적이에요!ㅎㅎ 교수님께 정답 확인 요청을 보낼게요 늦어서 미안해요~!

사실 Burnside's lemma를 쓰는 것이 가장 간단하고 정확한 풀이 방법인듯 합니다. (아마도 undefined 님의 답이 맞을 것이라고 생각되네요.) Burnside's lemma를 사용하지 않고 중복되는 케이스를 제외하며 푸는 것은 상당히 힘들 것 같지만 그래도 시도해볼 가치는 있을 것 같네요. code님의 답이 undefined님보다 작게 나온 것으로 보아 아마도 중복되는 케이스를 잘못 센 부분이 있을 것 같네요. 

undefined님 풀이를 보면 마지막에

3763214+어쩌구 가 있는데, 저 숫자가 제 답의 2배값이더라고요.

전 번사이드 보조정리를 잘 이해하지 못해서 어느 부분을 잘못했는지를 잘 모르겠습니다.

뭔가 더 세고 /2를 했는데 그게 뭘까요? ㅠㅠ

일단 번사이드 보조정리를 사용한 풀이는 다음과 같습니다. 

포여의 나열식 f(X)를 구해보면

이고, 를 대입해서 B^{12}W^{20}의 계수를 구해보면

가 나오네요. 

Undefined님의 답과 동일하게 나오네요.

다음과 같은 문제점들이 있군요.

1. 축의 개수 카운팅이 잘못되었습니다. 오각형과 육각형의 중심을 관통하는 축에 대해 보면 그 축들은 각각 12개 20개가 아니라 6개와 10개입니다. (1개의 축은 2개의 면을 관통함)

2. 카운팅하지 않은 축이 존재합니다. 육각형과 육각형을 연결하는 모서리의 중심을 관통하는 축에 대해, 180도 회전시키면 동일한 모양이 되므로 모서리를 관통하는 축들이 존재합니다. (육각형과 육각형을 연결하는 모서리는 정이십면체의 모서리 개수와 동일하므로, 축은 15개가 존재함을 알 수 있습니다.)

3. 회전시켰을 때도 색칠이 동일한 배열은 여러번 카운팅 되지 않고 1번만 카운팅되므로 32C12를 축의 개수와 회전 개수로 단순히 나누는 것은 불가능합니다. (표현이 좀 애매하네요)

이러한 3개의 문제점을 고려하여 다시 카운팅하면 동일한 답이 나올겁니다. (번사이드 보조정리를 이용한 풀이는 이러한 문제점들을 고려하여 카운팅한 풀이입니다.)

그렇네요! 완벽한 고찰인듯 합니다. 이해되었어요!