Burnside`s Lemma를 활용하자.

깎은 정십이면제는 정십이면체와 같은 회전군을 이룬다.

회전축 중 정오각형 면 중심에서 반대쪽 면 중심까지 있는 축은 6개있다. 각 축에 대한 72° 회전변환을 [eqn: sigma_i ~(i=1,2,...,6)]라고 하자.

회전축 중 정육각형 면 중심에서 반대쪽 면 중심까지 있는 축은 10개있다. 각 축에 대한 120° 회전변환을 [eqn: rho_i ~(i=1,2,...,10)]라고 하자.

회전축 중 꼭짓점에서 반대쪽 꼭짓점까지 있는 축은 15개있다. 각 축에 대한 180° 회전변환을 [eqn: tau_i ~(i=1,2,...,15)]라고 하자.

따라서 회전 변환은 [eqn: 1], [eqn: sigma_i ^a], [eqn: rho_j ^b], [eqn: tau _{k}] 로 총 60가지 있다.

[eqn: (i=1,...,6,~j=1,...,10,~k=1,...,15,~a=1,...4,~b=1,2)]

[eqn: 1]에 의해 불변인 색칠 가짓수는 [eqn: {pmatrix{32#12}}]이다.

[eqn: sigma_i ^a]에 의해 불변인 색칠 가짓수를 구하자. 축을 지나는 면 두 개는 색깔에 상관없이 불변이다. 나머지 30개의 면은 5개씩 같은 색깔로 칠해야지 불변이다. 따라서 축에 있는 면 두 개는 검정색으로, 나머지는 [eqn: sigma_i]에 의해 같아지는 면끼리 6개의 그룹으로 묶은 뒤 그룹 중 2개를 까만색으로 칠하므로 [eqn: {pmatrix{6#2}}]임을 알 수 있다.

[eqn: rho_j ^b]에 의해 불변인 색칠 가짓수를 구하자. 축을 지나는 면 두 개는 색깔에 상관없이 불변이다. 나머지 30개의 면은 3개씩 같은 색깔로 칠해야지 불변이다. 따라서 축에 있는 면 두 개는 흰색으로, 나머지는 [eqn: rho_j]에 의해 같아지는 면끼리 10개의 그룹으로 묶은 뒤 그룹 중 4개를 까만색으로 칠하므로 [eqn: {pmatrix{10#4}}]임을 알 수 있다.

[eqn: tau _{k}]에 의해 불변인 색칠 가짓수를 구하자. 32개의 면은 2개씩 같은 색깔로 칠해야지 불변이다. [eqn: tau _{k}]에 의해 같아지는 면끼리 16개의 그룹으로 묶은 뒤 그룹 중 6개를 까만색으로 칠하므로 [eqn: {pmatrix{16#6}}]임을 알 수 있다.

번사이드 보조정리의 따르면 답은 [eqn: {1} over {60} LEFT ( {pmatrix{32#12}} +6 TIMES 4 TIMES {pmatrix{6#2}} +10 TIMES 2 TIMES {pmatrix{10#4}} +15 TIMES {pmatrix{16#6}} RIGHT )]

[eqn: ={1} over {60} LEFT ( 225792840 +360+4200 +120120 RIGHT )]

[eqn: =3763214 +6+70 +2002]

[eqn: =3765292]