[eqn: X]는 ‘정십이면체의 면을 문제의 조건에 맞게 칠하는 배열’을 모두 원소로 가지는 집합이라고 하자.

[eqn: G]는 [eqn: X]의 각 원소를 자연스러운 회전에 의해 다른 원소로 대응시키는 회전변환들의 집합이라고 하자.

[eqn: G]의 원소들은 다음과 같다.

먼저 항등원, 항등함수 [eqn: 1]이 있다.

회전축 중 정오각형 면 중심에서 반대쪽 면 중심까지 있는 축은 6개있다. 각 축에 대한 72° 회전변환을 [eqn: sigma_i ~(i=1,2,...,6)]라고 하자.

회전축 중 정육각형 면 중심에서 반대쪽 면 중심까지 있는 축은 10개있다. 각 축에 대한 120° 회전변환을 [eqn: rho _{j} ~(j=1,2,...,10)]라고 하자.

회전축 중 꼭짓점에서 반대쪽 꼭짓점까지 있는 축은 15개있다. 각 축에 대한 180° 회전변환을 [eqn: tau _{k} ~(k=1,2,...,15)]라고 하자.

회전변환 끼리의 연산을 두 회전변환을 순서대로 적용시킨 변환이라고 정의하자.

즉, [eqn: sigma_1 BULLET sigma_1 =sigma_1 ^2]은 [eqn: sigma_1]을 두 번 적용시킨 것으로 정오각형 면 중심에서 반대쪽 면 중심을 잇는 축 중 하나에 대한 144° 회전변환이다.

[eqn: G]의 원소는 [eqn: 1], [eqn: sigma_i ^a], [eqn: rho_j ^b], [eqn: tau _{k}] 로 총 60가지 있다. 이 원소들 사이에서 연산이 잘 정의된다.

[eqn: (i=1,...,6,~j=1,...,10,~k=1,...,15,~a=1,...4,~b=1,2)]

[eqn: sigma_i ^5 =rho_j ^3 =tau_k ^2 =1]임을 알 수 있다.

따라서 역원이 잘 정의된다.

위에 의해 [eqn: (G, BULLET)]는 군이다.

[eqn: g IN G]

[eqn: X ^{g} = LEFT { LEFT . x IN X RIGHT | g(x)=x RIGHT }]

[eqn: |X^1 |=|X`|= {pmatrix{32#12}}]

[eqn: left|X^{sigma _{i}^{a}}right|]를 구하자. 축을 지나는 면 두 개는 색깔에 상관없이 불변이다. 나머지 30개의 면은 5개씩 같은 색깔로 칠해야지 불변이다. 따라서 축에 있는 면 두 개는 검정색으로, 나머지는 [eqn: sigma_i]에 의해 대응되는 면끼리 6개의 그룹으로 묶은 뒤 그룹 중 2개를 까만색으로 칠하는 방법의 수와 같다. [eqn: left|X^{sigma _{i}^{a}}right|={pmatrix{6#2}}]

[eqn: left| X^{rho_j ^b} right|]를 구하자. 축을 지나는 면 두 개는 색깔에 상관없이 불변이다. 나머지 30개의 면은 3개씩 같은 색깔로 칠해야지 불변이다. 따라서 축에 있는 면 두 개는 흰색으로, 나머지는 [eqn: rho_j]에 의해 대응되는 면끼리 10개의 그룹으로 묶은 뒤 그룹 중 4개를 까만색으로 칠하는 방법의 수화 같다. [eqn: left| X^{rho_j ^b} right|={pmatrix{10#4}}]

[eqn: left| X^{tau_k} right|]를 구하자. 32개의 면은 2개씩 같은 색깔로 칠해야지 불변이다. [eqn: tau _{k}]에 의해 대응되는 면끼리 16개의 그룹으로 묶은 뒤 그룹 중 6개를 까만색으로 칠하는 방법의 수와 같다. [eqn: left| X^{tau_k} right|={pmatrix{16#6}}]

By Burnside`s Lemma

[eqn: |X/G`|= 1over{|G`|} SUM_{g in G} left| X^g right|]

[eqn: = {1} over {60} LEFT ( {pmatrix{32#12}} +6 TIMES 4 TIMES {pmatrix{6#2}} +10 TIMES 2 TIMES {pmatrix{10#4}} +15 TIMES {pmatrix{16#6}} RIGHT )]

[eqn: ={1} over {60} LEFT ( 225792840 +360+4200 +120120 RIGHT )]

[eqn: =3763214 +6+70 +2002]

[eqn: =3765292]