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[창의 퍼즐] [IM'POSSIBLE 폴리매스] 켤레복소수
유리수인 a,b,c에 대해 ax2+bx+c=0 에 대해서 한근이 px+q 라면 다른 한근은 반드시 px-q 또는 q-px일까?(공댓으로 토론해주세요)
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저 방정식은 x에 대한 방정식인가요? 그러면 근에 왜 미지수가 남아있을 수 있을까요? 만약 저 방정식이 x에 관한 방정식이라면, 한 근이 px+q라는 전제가 거짓이므로 결론이 어떻든 이 명제는 참이 됩니다. 공허하게 참인 명제죠.
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그리고 정답에서 추론해 보건대, 원래는 x에 관한 실수 계수 방정식 ax2+bx+c=0에서 한 근이 p+qi일 때 그 켤레복소수 p-qi도 근임을 증명하라는 의도로 내셨던 것 같군요. 이 경우는 a=0인 경우와 그렇지 않을 경우가 있는데 a=0인 경우 bx+c=0이므로 x=-b/c가 되어 근이 복소수가 아닙니다. 따라서 a는 0이 아니고 양변을 a로 나누어 x2+bx/a+c/a=0이라 할 수 있지요. 이때 두 근의 합은 -b/a, 두 근의 곱은 c/a임을 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 알 수 있는데, 두 복소수의 곱과 합 모두가 실수일 때 서로 켤레복소수 관계임을 증명할 수 있습니다.
(p+qi)+(p'i+q'i)=(p+q)+(q+q')i, q'=-q
(p+qi)(p'-qi)=(pp'+q2)+(p'q-pq)i, p'=p
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