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[KPP 퍼즐파티] KPP24. 자를 수 없는 모눈종이
수학동아 2019.12.03 20:26 조회 2778

 

24번째 문제는

KPP 멤버 '한동규' 님이 만든 문제입니다cheeky

 

 

동규와 유정이 모눈종이 자르기 게임을 한다. 모눈종이는 격자선을 따라 직선으로 자를 수 있다. 동규가 먼저 종이를 두 조각으로 자르면, 유정이는 두 조각 중 하나를 선택하고 나머지 하나를 버린다. 다음에는 유정이가 종이를 자르고 동규가 모눈종이를 선택한다. 이와 같이 번갈아 종이를 자르다가, 조각이 1×1 크기라 더 이상 모눈종이를 자를 수 없는 사람이 진다. 모두 최선의 선택을 할 때, 동규가 항상 이기려면 처음 모눈종이의 크기는 얼마여야 할까? 아래 <보기>에서 모두 골라보자.

 

 

<보기>

 

13×17    14×14    26×84    28×19

36×100    56×72    80×24    89×55

 

 

 

 

<예시 게임>

 

① 동규가 3×2 종이를 1×2와 2×2 크기의 조각으로 자른다.

유정은 1×2 조각을 선택한다.

 

② 유정이 1×2 조각을 1×1 크기의 조각 2개로 자른다.

동규가 1×1 조각을 받게 되므로 유정이 이긴다.

 

 

 

 

 

 

 

 

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당첨자는 수학동아 2020년 1월호에 공개합니다!

풀이는 12월 25일 이후 이 게시물에서 확인하세요!

 

 

 

*KPP (Korean Puzzle Party)는 '퍼즐을 좋아하는 사람들의 모임'으로 퍼즐을 모으는 사람, 퍼즐을 만드는 사람, 퍼즐을 푸는 사람들이 모여 직접 만들고 수집한 퍼즐을 함께 풀어보며 이야기를 나눈다. 현재 두 달에 한 번 서울에서 정기적인 모임을 갖고 있으며, 퍼즐을 푸는 것뿐 아니라 퍼즐 관련 행사에 참여하거나 박물관에 다녀오는 등 다양한 활동을 하고 있다. 

 

 

 

 

스크롤 주의!

아래 정답이 있습니다!

devil

 

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정답 및 해설

 

종이의 크기를 나타낼 때 가로와 세로의 순서는 상관이 없다는 사실을 참고해 아래 해설을 참고하자. 예를 들어, (홀수)×(짝수) 크기의 종이는 3×4 뿐만 아니라 2×5 등의 종이도 나타낸다.

 

 

 

 

<1>

우선 동규가 (홀수)×(홀수) 크기의 종이를 받으면 진다는 사실을 관찰해야 한다. (홀수)×(홀수) 종이는 반드시 (홀수)×(홀수)와 (홀수)×(짝수) 크기의 종이로 잘라야 하는데, 유정이는 (홀수)×(짝수) 종이를 선택해서 더 작은 (홀수)×(홀수) 2개로 되돌려줄 수 있다. 동규가 어떤 선택을 하든 점점 작아지는 (홀수)×(홀수) 종이를 받으므로 결국 1×1 크기의 종이를 받게 된다. 같은 이유로, 동규가 (홀수)×(짝수) 크기의 종이를 받으면 이긴다.

 

 

 

<2>

동규가 (짝수)×(짝수) 크기의 종이를 받은 경우는 어떨까? 만약 둘 중 누구든 (홀수)×(짝수) 크기의 종이 2개로 나눈다면 (홀수)×(짝수) 종이를 받는 상대가 이기게 된다. 따라서 둘 다 (짝수)×(짝수) 크기를 유지하며 나누려고 할 것이다. (짝수)×(짝수) 크기의 종이를 더이상 (짝수)×(짝수)로 나눌 수 없으면, 즉 2×2 크기의 종이를 선택하면 진다는 사실을 알 수 있다.

 

 

 

<3>

여기서 흥미로운 관찰을 할 수 있다. 종이의 가로와 세로를 모두 2로 나누면 원래의 종이 자르기 문제와 정확히 같아진다! 즉, 처음 설명한 것과 같은 논리로 동규가 받은 종이의 크기를 2로 나눴을 때 (홀수)×(짝수) 크기면 동규가 이기고, (홀수)×(홀수) 크기면 유정이가 이긴다. 종이의 크기를 2로 나눠도 여전히 (짝수)×(짝수)면, 다시 한 번 2로 나누어주면 된다.

 

 

 

<4>

따라서 정답은 종이의 크기를 계속해서 2로 나누었을 때, (홀수)×(짝수) 크기의 종이라면 동규의 승리, (홀수)×(홀수) 크기라면 유정이의 승리다. 보기 중에서 동규가 이기는 종이의 크기는 26×84, 28×19, 80×24 세 가지다. 각각의 종이를 반복해서 2로 나누면 13×42, 28×19, 10×3이므로 모두 (홀수)×(짝수) 크기의 종이다.

 

 

 

-끝-

 

 

  • 폴리매스 문제는 과학기술진흥기금 및 복권기금의 재원으로 운영되고, 과학기술정보통신부와 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물로 우리나라의 과학기술 발전과 사회적 가치 증진에 기여하고 있습니다.

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