24번째 문제는
KPP 멤버 '한동규' 님이 만든 문제입니다
동규와 유정이 모눈종이 자르기 게임을 한다. 모눈종이는 격자선을 따라 직선으로 자를 수 있다. 동규가 먼저 종이를 두 조각으로 자르면, 유정이는 두 조각 중 하나를 선택하고 나머지 하나를 버린다. 다음에는 유정이가 종이를 자르고 동규가 모눈종이를 선택한다. 이와 같이 번갈아 종이를 자르다가, 조각이 1×1 크기라 더 이상 모눈종이를 자를 수 없는 사람이 진다. 모두 최선의 선택을 할 때, 동규가 항상 이기려면 처음 모눈종이의 크기는 얼마여야 할까? 아래 <보기>에서 모두 골라보자.
<보기>
13×17 14×14 26×84 28×19
36×100 56×72 80×24 89×55
<예시 게임>
① 동규가 3×2 종이를 1×2와 2×2 크기의 조각으로 자른다.
유정은 1×2 조각을 선택한다.
② 유정이 1×2 조각을 1×1 크기의 조각 2개로 자른다.
동규가 1×1 조각을 받게 되므로 유정이 이긴다.
★주의 사항★
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당첨자는 수학동아 2020년 1월호에 공개합니다!
풀이는 12월 25일 이후 이 게시물에서 확인하세요!
*KPP (Korean Puzzle Party)는 '퍼즐을 좋아하는 사람들의 모임'으로 퍼즐을 모으는 사람, 퍼즐을 만드는 사람, 퍼즐을 푸는 사람들이 모여 직접 만들고 수집한 퍼즐을 함께 풀어보며 이야기를 나눈다. 현재 두 달에 한 번 서울에서 정기적인 모임을 갖고 있으며, 퍼즐을 푸는 것뿐 아니라 퍼즐 관련 행사에 참여하거나 박물관에 다녀오는 등 다양한 활동을 하고 있다.
스크롤 주의!
아래 정답이 있습니다!
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정답 및 해설
종이의 크기를 나타낼 때 가로와 세로의 순서는 상관이 없다는 사실을 참고해 아래 해설을 참고하자. 예를 들어, (홀수)×(짝수) 크기의 종이는 3×4 뿐만 아니라 2×5 등의 종이도 나타낸다.
<1>
우선 동규가 (홀수)×(홀수) 크기의 종이를 받으면 진다는 사실을 관찰해야 한다. (홀수)×(홀수) 종이는 반드시 (홀수)×(홀수)와 (홀수)×(짝수) 크기의 종이로 잘라야 하는데, 유정이는 (홀수)×(짝수) 종이를 선택해서 더 작은 (홀수)×(홀수) 2개로 되돌려줄 수 있다. 동규가 어떤 선택을 하든 점점 작아지는 (홀수)×(홀수) 종이를 받으므로 결국 1×1 크기의 종이를 받게 된다. 같은 이유로, 동규가 (홀수)×(짝수) 크기의 종이를 받으면 이긴다.
<2>
동규가 (짝수)×(짝수) 크기의 종이를 받은 경우는 어떨까? 만약 둘 중 누구든 (홀수)×(짝수) 크기의 종이 2개로 나눈다면 (홀수)×(짝수) 종이를 받는 상대가 이기게 된다. 따라서 둘 다 (짝수)×(짝수) 크기를 유지하며 나누려고 할 것이다. (짝수)×(짝수) 크기의 종이를 더이상 (짝수)×(짝수)로 나눌 수 없으면, 즉 2×2 크기의 종이를 선택하면 진다는 사실을 알 수 있다.
<3>
여기서 흥미로운 관찰을 할 수 있다. 종이의 가로와 세로를 모두 2로 나누면 원래의 종이 자르기 문제와 정확히 같아진다! 즉, 처음 설명한 것과 같은 논리로 동규가 받은 종이의 크기를 2로 나눴을 때 (홀수)×(짝수) 크기면 동규가 이기고, (홀수)×(홀수) 크기면 유정이가 이긴다. 종이의 크기를 2로 나눠도 여전히 (짝수)×(짝수)면, 다시 한 번 2로 나누어주면 된다.
<4>
따라서 정답은 종이의 크기를 계속해서 2로 나누었을 때, (홀수)×(짝수) 크기의 종이라면 동규의 승리, (홀수)×(홀수) 크기라면 유정이의 승리다. 보기 중에서 동규가 이기는 종이의 크기는 26×84, 28×19, 80×24 세 가지다. 각각의 종이를 반복해서 2로 나누면 13×42, 28×19, 10×3이므로 모두 (홀수)×(짝수) 크기의 종이다.
-끝-