폴리매스

어떤 두 수직인 선분 위에 못 같은 것들을 박아 놓고 그 못들을 실로 연결하여 만드는 스트링 아트라는 것이 있다. (https://postfiles.pstatic.net/MjAxODA0MTFfNzcg/MDAxNTIzNDE4OTkzNDk5.gcD-qleiO0BErifFkhCJG_KkH_pF_wIwmkKidu5UUdEg.VRi-9kPQXB0ptxQpT-aXf6ibFRLj3NtKtysDdnwVKZgg.JPEG.ingyong/IMG_2749.JPG?type=w773 참고. )

여기에서, V(n, k)라는 스트링 아트 도형을 정의하자. 스트링 아트 도형 V(n, k)는, 좌표평면에서 y축의 한 점 (0,n)과 x축의 한 점 (1,0)을 이은 선분을 그리고, 그 다음엔 y축의 한 점 (0,n-1)과 x축의 한 점 (1+k,0)을 이은 선분을 그리고, 그 다음엔 y축의 한 점 (0,n-2)와 x축의 한 점 (1+2k,0)을 이은 선분을 그리고, ..... 그 다음엔 y축의 한 점 (0,1)과 x축의 한 점 (1+k(n-1),0)을 이은 선분을 그려서 만든 도형을 의미한다. 

문제 1. 임의의 두 수 p,q에 대해 V(p,q)가 좌표평면에 그려져 있다. 이 V(p,q)를 그릴 때 그은 선분들을 모두 연장시켜 모두 직선으로 만들었다. 임의의 양의 정수 i에 대해, 그렇게 만들어진 직선들 중 점 (i,0)을 지나는 직선의 그래프를 구하여라. (식에서는 p,q,i를 사용한다. )

X(n,k)를 다음과 같이 정의하자.

X(n,k)는 V(n,k)와 비슷한 규칙으로 그리는 도형이다. 하지만, V(n,k)는 정수점만 연결했지만, X(n,k)는 실수점까지 전부 연결한다. 정수점끼리는 V(n,k)와 똑같이 연결되고, 실수점끼리도 똑같은 규칙으로 연결된다. 즉, X(n,k)에선, (0,n)과 (1,0)을 연결하고, 1 이상 n 이하인 모든 양의 실수 w에 대해 y축 위의 점 (0,w)와 x축 위의 점 (1+k(n-w),0)를 연결한다. 그러면 좌표평면 위에는 하나의 색칠된 도형이 그려지게 된다. 

문제 2. 임의의 두 수 p,q에 대해 X(p,q)의 둘레의 그래프의 함수식을 구하시오. (x축, y축은 제외한 선이다. )

문제 3. 임의의 두 수 p,q에 대해 X(p,q)의 넓이를 구하시오.