폴리매스

안녕하세요 수학동아입니다.

UNIST EOE가 11월호를 통해 직접 출제한 퀴즈 '킹&유니스트'  문제를 풀어보세요!

아래 그림과 같이 이번호에는 '가을 축제 대소동'라는 주제로 3가지 문제가 담겼는데요.

퀴즈에 참여해주신 분 중 추첨을 통해 선물을 드립니다.

한 문제만 풀어도 좋으니 여러분의 풀이를 보여주세요!

정답이 아닌 기발한 오답도 대환영입니다. 정답이 없으면 기발한 오답을 제출한 분께 선물을 드려요!

킹앤유 문제 풀이에 참여하고 싶은 분은

이 게시물의 비밀댓글로 이름, 연락처, 주소와 함께 풀이를 남겨주세요 ^^

QUIZ 1)

제헌은 전신거울을 사기로 한다. 하지만 통장 잔고는 이미 텅텅~! 자신의 몸 전체를 볼 만큼 충분히 크면서도 가격이 저렴한 것을 골라야 한다. 거울의 가격이 거울의 높이에 비례한다고 할 때, 제헌의 몸 전체를 비칠 수 있고, 가장 저렴한 거울의 높이는 얼마일까? 단, 제헌의 키는 170cm다.

QUIZ 2)

 멋지게 꾸며 입고 모인 EOE 친구들, 갑자기 토론이 벌어졌다. 축제 장소까지 어떻게 이동할지 정하지 못한 것! 걸어가면 짧은 길로 갈 수 있지만(A), 중간에 자전거 도로를 이용하는 경로로 가면(B) 더 먼 거리로 돌아가야 한다. 자전거의 속력은 10km/h, 걸을 때의 속력은 4km/h 일 때 어떤 방법을 선택하는 것이 더 빠를까?

수리논술문제)

EOE 친구들은 축제에서 재미있는 게임을 하게 됐다. 게임의 규칙은 다음과 같다. 테이블에는 여러 개의 컵이 뒤집어져 있으며, 이 중 동전이 들어 있는 컵은 단 한 개다. 동전이 있는 컵을 예상하고, 맞히면 선물을 받을 수 있다.

(1) 제헌은 1번 컵을 선택했다. 그러자 게임 진행자는 제헌이 선택하지 않은 2번 컵을 열어 '꽝'이라는 사실을 보여주고, 이후 선택을 바꿀 수 있는 기회를 줬다. 이때 제헌은 선택한 컵을 바꾸는 것이 유리할까?

(2) 이번에는 다섯 개의 컵이다. 동전이 있는 컵은 오직 한 개다. 이번에도 제헌은 1번 컵을 선택했다. 진행자는 2번과 3번 컵이 꽝임을 보여줬고, 고른 컵에 동전이 있을 확률은 3분의 1이 되었다. 진행자는 또다시 제헌에게 선택을 바꿀 수 있다고 설명했다. 이때 제헌은 4번이나 5번으로 선택을 바꾸는 것이 유리할까?

(3) 컵의 개수가 a개, 컵을 열어 보는 횟수가 b번이라고 정하고, 선택을 바꿨을 때의 확률을 a와 b로 표현해 보자. 그리고 꽝인 컵을 일부 뺀 뒤, 선택을 바꾸는 것이 항상 유리한지 생각해 보자.

(4) 이번에는 카드 게임이다. 책상 위에는 10개의 카드가 있고, 이중 당첨카드는 6개다. 진행자는 제헌에게 한 장의 카드를 선택하고, 당첨 여부를 확인하지 않은 채 덮어두게 했다. 이후 나머지 9장 중에서 무작위로 다섯 장을 뽑아 확인해 보니, 모두 당첨 카드였다. 만약 제헌이 처음 뽑은 카드를 확인했을 때 당첨 카드면 EOE의 승리로 선물을 받지만, 당첨 카드가 아니라면 벌칙을 받는다. 단, 카드를 확인하지 않고 포기하면 벌칙 면제! 제헌은 어떤 선택을 하는 것이 합리적일까?

킹앤카 정답 중 긴 풀이로 인해 <수학동아> 12월호 133p "11월호 킹앤유 문제 풀이"에 실지 못한 정답을 공개합니다!

2021년 11월호 킹앤유 수리논술 문제의 나머지 풀이가 보고 싶은 분들은 아래를 드래그 해주세요!

수식의 경우 하얀색으로 변경할 수 없어 검정색으로 나오는 점 양해 부탁드립니다.

드래그하면 전체 풀이를 볼 수 있어요.

(2) 바꾸는 것이 유리하다. (1)의 후자의 방법을 이용하여 이해해보자. 1번에 사탕이 있을 확률은 , 나머지 2번 또는 3번 또는 4번 또는 5번에 사탕이 있을 확률은 가 된다. 이때 2번과 3번이 꽝임을 보여주었으므로, 4번 또는 5번에 사탕이 있을 확률은 가 된다. 따라서 4번과 5번에 각각 사탕이 있을 확률은 인 가 된다. 이는 보다 큰 값이므로 바꾸는 것이 유리하다. 이것 또한 확률이 이라고 생각하기 쉽지만, 그렇지 않다는 것이 이 문제의 중요한 부분이다.

(3) 위에서 계산한 과정과 동일하게 진행하면 된다. 1번이 사탕일 확률은 , 나머지 2번 또는 3번 또는 ….. 또는 a번이 사탕일 확률은 이다. 여기서 진행자가 b개의 컵을 열어주었으므로 꽝인 컵들은 제외시켜줄 수 있다. 따라서 원래 사탕이 있을 후보는 a-1개였지만 a-b-1, 즉 b개만큼 빼줄 수 있다. 이들 전체에 사탕이 있을 확률은 이었으므로, 사탕이 있을 각각의 확률은 컵의 개수만큼 나누어주면 된다. 즉, 이 된다. 여기서

이다. 왜냐하면 은 항상 1보다 크기 때문이다. 따라서 보다 확률이 크므로 일반적인 상황에서도 바꾸는 것이 항상 유리함을 알 수 있다.

(4) 언뜻 보기에는 전체 10개 중 6개의 당첨카드가 있는 상황에서 골랐으므로, 첫번째 카드가 당첨일 확률을 이라고 생각하기 쉽다. 하지만, 여기서 나머지 9장 중 다섯장을 뽑으니 모두 당첨카드였다는 사실이 중요하다. 답은 아직 뒤집어보지 않은 5장의 카드 중 당첨카드가 있을 확률, 즉 이 된다. 쉽게 이해가 안되는 경우, 만약 5장이 아닌 6장을 골랐는데 이들이 모두 당첨카드이라면, 처음에 뽑은 카드는 당연하게도 당첨카드일 확률은 0이 된다. 이처럼 뒤에 일어난 사건이 먼저 일어난 사건의 확률에 영향을 끼칠 수 있다.