폴리매스

어제였던 7월 11일은 영재학교를 준비 중인 학생들에게는 더없이 중요한 날이었다. 바로 2022학년도 영재학교 입학시험 2단계 지필고사가 있었기 때문이다. 영재학교는 전국에 총 8곳이 있는데, 서울에 있는 서울과학고등학교, 수원에 있는 경기과학고등학교, 부산에 있는 한국과학영재학교, 대전에 있는 대전과학고등학교, 대구에 있는 대구과학고등학교, 광주에 있는 광주과학고등학교, 세종에 있는 세종과학예술영재학교, 인천에 있는 인천과학예술영재학교가 있다(생각해 보니 경기과고와 한과영 빼면 어디에 있는지는 너무 자명하지 않나 그래도 세종과학고가 서울에 있으니 자명하진 않구나). 서울 대*동에 있는 한 대형 영재학교 입시 전문 학원인 SMC에서는 전국 8개 영재학교 모두에 응시자가 최소 1명씩은 있어서 각 학교에 응원을 가려고 한다. 그런데 조금 전의 문장을 읽어봤으면 알겠지만, 영재학교는 서울, 광주, 부산까지 워낙에 전국 곳곳에 위치해 있다. 게다가, 시험 시작 시각만 다르고 8개 학교 전부 7월 11일, 동일한 날짜에 시험을 봐서 최대한 효율적이고 합리적으로 동선을 결정해야 한다. 각 영재학교 2차 입실 시작 시각은 아래와 같다.

서울과학고: 오전 8시

경기과학고: 오전 8시

한국과학영재학교: 오전 10시 30분

대전과학고: 오후 12시

대구과학고: 오후 12시 20분

광주과학고: 오전 11시 30분

세종과학예술영재학교: 오후 1시 30분

인천과학예술영재학교: 오후 12시 10분

그리고 8개 영재학교의 위치를 지도에 나타내면 아래와 같다(파란색은 도로를 나타낸 것이다).

모든 영재학교는 시험을 자기네 학교, 혹은 적어도 그 인근에서 보았다고 가정한다(실제로도 거의 그랬지만, 딱 하나 예외로 한과영은 서울 시험장과 부산 시험장 2곳이 있었으며, 부산 시험장은 한과영, 서울 시험장은 용산철도고였다. 이 문제에서는 한과영 서울 시험장은 무시하자).

(1) 각 도로의 길이는 아래와 같다.

서울~수원: 31.5km

수원~인천: 34.5km

서울~인천: 40km

수원~세종: 90km

세종~대전: 20km

대전~대구: 127.5km

대구~부산: 84km

광주~부산: 198km

대전~광주: 136km

광주~대구: 175km

SMC 학원에서는 최대한 자동차를 덜 쓰고 싶다. 차들은 2차 시험 전날인 7월 10일에 서울, 수원, 부산, 대전, 대구, 광주, 세종, 인천 중 한 곳에 미리 가서 대기하는 것이 가능하다(그리고 교사들은 다음날 시험 입실시간 때까지 차 안에서 자야 한다. 고달픈 교사 인생 아마 모든 교사들이 제발 서울, 최소한 경기나 인천 팀이 되게 해 달라고 빌 것이다). 단, 어느 두 도시의 중간 지점에 가 있는 것은 안 된다. 예를 들어 서울과 수원의 중간 지점에 차를 대기시키면 안 된다. 그런데 하필 7월 11일에 차가 막혀서 모든 차들의 평균 속력은 시속 60km밖에 안 된다(출근길도 아니고 일요일인데?). SMC 학원에서는 입실 시작 시각 이전, 혹은 최소한 정확히 그 때 도착해야 한다. 그러면 차가 최소 몇 대여야 하는가? 그리고 그 방법은 무엇인가(한 가지가 아닐 수도 있다)?

(2) SMC 학원의 교사는 총 10명이다(대형 학원에 꼴랑 10명?). 그런데 이 중 운전면허가 있는 사람은 마침 (1)번에서 구한 자동차의 최소 댓수와 같았다. 그러면 이제 응원을 갈 조를 편성하는 경우의 수를 구하여라. 단, 차는 전부 똑같다.

(3) 아까도 말했지만 SMC 학원은 서울 대*동에 있다. 그런데 하루 전에 지방으로 갈 수 있는 사람은 총 7명이고, 나머지 3명은 7월 10일에는 도저히 시간이 안 돼서 그나마 서울, 인천, 수원 정도만 당일에 미리 내려갈 수 있다. 당연히 이 3명도 당일에는 자유롭게 움직일 수 있다. 다행히도 이 3명 중에는 운전면허가 있는 사람이 없다. 그러면 이 때 경우의 수는 몇 가지인가?

(오랜만에 돌아와서 모르실까 봐 말하는 건데, 제 모든 문제는 풀이과정 필수입니다!)