폴리매스

으으으음......
각 경우를 일일이 확인하지 않고 후보군을 특정하는 방법이 있다구요...?

일단 연속한 세 수이므로 셋 중 하나는 반드시 3의 배수입니다.

여기서 가운데 짝수가 3의 배수가 되어 버리면 그 자체로 소인수가 2개 생겨버리고,
그 상황에서 문제 조건을 만족시킬 수 있는 수는 6 뿐입니다.
위에서 말한 대로 (5,6,7)은 문제를 만족시킬 수 없습니다.
그러므로 36으로 나눈 나머지가 (6n-1, 6n, 6n+1)형태가 아예 불가능하므로, (1≤n≤6, n∈N)
a1의 후보군에서 5, 11, 17, 23, 29, 35는 날아갑니다.

또한 3의 배수는 두 홀수 중 하나여야겠네요.
그렇다면 문제의 세 수는 이런 조합이 나옵니다.
 짝수: 2 x (5 이상의 홀수 소수)
 3의 배수인 홀수: 3 x (5 이상의 홀수 소수)
 3의 배수가 아닌 홀수: 5 이상의 서로 다른 홀수 소수의 곱.

5 이상의 홀수 소수는 6으로 나눴을 때 나머지가 반드시 1 혹은 5이고...
그러면 각각의 경우를 봅시다.

i) 짝수
5 이상의 홀수 소수는 6k+1, 6k+5 로 나타낼 수 있습니다. (k≥0, k∈Z)
이걸 2와 곱하면 12k+2, 12k+10이 될 것이고요.
그러면 이 수들을 36으로 나눴을 때 나올 수 있는 나머지는 2, 10, 14, 22, 26, 34 총 6개가 됩니다.

ii) 3의 배수인 홀수
마찬가지 상황에서 6k+1, 6k+5를 각각 3과 곱하면 18k+3, 18k+15.
이 수들을 36으로 나눴을 때 나올 수 있는 나머지는 3, 15, 21, 33로 총 4가지.

iii) 3의 배수가 아닌 홀수
5 이상의 서로 다른 두 소수를 곱하는 상황이라 얘는 경우가 2가지가 됩니다.
두 소수를 6으로 나눈 나머지가 같을 경우와 다른 경우. (아래 두 식은 복부호 동순입니다.)
iii-a)
iii-b)

저 두 식에서 a+b와 a-b가 6으로 나눴을 때 나머지가 얼만지는 알 방법이 없으므로
이 경우 36으로 나눴을 때 나올 수 있는 나머지는 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35로 총 12개나 됩니다.

문제에서는 연속된 세 수라고 했으므로, 결국 i)에서 하나, ii)에서 하나, iii)에서 하나를 뽑아서 연속된 세 수를 만들 수 있는 경우가 어떻게 되느냐...
이런 문제로 귀결되긴 합니다. (이런 방식을 원하셨던 것 같긴 한데....)
가짓수가 제일 적은 ii)를 기준으로 살펴보면 될 듯 합니다.
ii)에서 하나 뽑고, 그 수와 1차이 나는 수를 i)에서 뽑은 다음, 이 둘과 연속되는 수를 iii)에서 뽑는 방식으로 찾으면 되겠죠.

답은 그대로 (1,2,3), (13,14,15), (21,22,23), (33,34,35) 4개 조합에서 나오는 68.

@GaussRifle

그렇게 자신의 댓글의 자신이 비밀댓글을 달면 아무도 못 봐요...