폴리매스

페루마는 마인크래프트(이하 마크)에서 지하철을 만들려고 한다. 페루마가 만들려고 하는 지하철은 서울지하철 2호선과 같은 순환선이며, 단선이 아닌 복선이고, 높이 변화가 전혀 없다. 그런데 마크를 하는 사람은 알겠지만, 마크는 정육면체 블록으로 만들어져서 지하철을 만들 때도 90도로 꺾는 것은 되지만, 곡선이나 다른 각도로 꺾는 것은 불가능하다. 즉, 정사각형으로 이루어진 격자에서 만든다고 생각하면 된다. 페루마가 만들려는 지하철은 아까도 말했듯이 복선 순환선인데, 그러면 안쪽 궤도와 바깥쪽 궤도를 도는 철로로 나뉘어진다. 이 중 안쪽 궤도를 내선순환, 바깥쪽 궤도를 외선순환이라고 하자(실제로 서울지하철 2호선에서도 내선순환과 외선순환이라고 한다). 그런데 페루마는 내선순환 철로와 외선순환 철로가 항상 '딱 붙게' 만들려고 한다. 여기서 딱 붙는다는 말은 두 궤도가 최대한 떨어지지 않게 만든다는 뜻이다. 예를 들어 아래 그림에서 왼쪽은 페루마가 만들려는 지하철 조건에 맞지만, 가운데와 오른쪽은 규칙에 어긋난다(역을 어떻게 만들지는 일단 무시하자).

그림에도 설명되어 있지만 보충설명을 하면, 가운데에서 원래 외선순환이 보라색처럼 되어 있는데, 초록색처럼 수정하면 더 딱 붙을 수 있고(이 경우에는 내선과 외선을 동시에 수정해도 됨), 오른쪽은 내선을 노란색으로 수정하면 더 딱 붙을 수 있어 규칙에 어긋난다. 하지만 왼쪽은 최대한으로 딱 붙게 했기 때문에 규칙에 어긋나지 않는다. 그런데 여기서 내선순환보다는 항상 외선순환이 더 길 수밖에 없다. 따라서 외선순환을 이루는 블록 수도 당연히 내선순환보다는 많을 수밖에 없다(즉, 각 선로가 지나는 칸 수가 어떻게 하든 내선보다는 외선이 많을 수밖에 없다). 그러면 이제 이 두 값의 차이를 생각해보자. 즉 A=(외선순환을 이루는 블록 수)-(내선순환을 이루는 블록 수)라고 정의하자. 순환선을 어떻게 만들든 페루마의 규칙에만 맞게 만든다면 A는 항상 일정한 상수인가? 맞다면 그 값을 구하고 증명하고, 아니라면 반례를 드시오.