폴리매스

1번 풀이입니다

답변이 늦어 미안해요~! 김다인 멘토의 검토는 다음과 같습니다.

잘 풀었습니다! 다만 풀이를 쓸 때 조심해야하는 부분이 있어요. “세로로” 뒤집는다고만 서술하면 4번 도미노가 왼쪽으로 갈지 오른쪽으로 갈지 불분명하겠죠? 다른 문제도 도전해보세요!
 

검토가 늦어서 미안합니다. 김다인 멘토의 피드백은 아래와 같습니다~!

숫자로 바꾸어보려고 했던 시도가 인상적입니다! 다만 “다음의 두 시행으로 위 조건을 만족하는 모든 경우를 만들수 있고”라는 부분이 잘 이해가 가지 않아요~ 조금 더 수학적인 설명을 보충해줄 수 있을까요? 
 

2번 풀이입니다.

n,m에서 n은 무조건 짝수라고 가정하자. 이제 다음과 같은 배열을 기본배열이라고 정의하자.

기본배열: 모든 도미노의 2짜리 길이는 길이 n의 선분과 평행한 쪽으로 놓고, 1짜리 길이는 길이 m의 선분과 평행한 쪽으로 놓은것이라고 하자. 

분배선: 길이 n의 선분과 평행한 직선이고 격자점을 지난다. 또 어느 임의의 도미노도 통과하지 않는다.

이제 어느 배열이라도 뒤집기를 통해 분배선이 존재하도록 만들수 있음을 보이자.

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먼저 n=2, m=m일때는 자명하게 분배선이 존재한다. 이런경우에는 뒤집기를 통해 원하는 곳에 분배선을 항상 만들수 있다.

n=n, m=m 일때 분배선이 존재한다고 가정하자.

n=n+2, m=m 일때는 위쪽부분은 n,m짜리 아래부분은 2,m짜리로 나눌수 있는데 위의 부분의 분배선이 지나는 부분이 아래쪽 부분의 분배선이 안된다면, 세로로 뒤집기를 통해 분배선이 되도록 할수 있다. 따라서 모든 배열에 대해서 뒤집기를 통해 분배선을 만들수 있다.■

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이제 모든 배열에 대해서 뒤집기를 통해 기본배열로 만들수 있음을 보이자.

n=2k, m=1 일때는 기본배열이다.

n=2k, m=1........m까지 모두 기본배열로 만들수 있다고 가정하자.

이때 n=2k, m=m+1 일때 기본배열로 만드는 것이 가능함을 보이면 귀납적으로 모든 배열을 기본배열로 만들수 있다고 할수 있다.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________이 배열은 위에서 증명한 것과 같이 분배선이 존재하도록 할수 있다. 분배선은 이 직사각형을 2k, i짜리 직사각형과 2k, j짜리 직사각형으로 분배하는데, 0<i<j<m+1 이므로 각각의 직사각형을 기본배열로 만드는 것이 가능하므로 2k, m+1 일때도 기본배열로 만드는 것이 가능하다.■

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따라서 모든 배열을 뒤집기를 통해 기본배열로 만드는 것이 가능하므로,

어느 한 배열을 뒤집기를 통해 다른 주어진 배열로 만드는 것이 가능하다고 할수 있다. ■

지적해 주셔서 감사합니다!

수정가능하면 수정해 보겠습니다!

Sin X 님의 풀이 중 '모든 배열을 기본배열로 만들 수 있다면 문제가 증명된다'는 아이디어를 이용해서 비슷한 증명을 생각해냈습니다! 그 아이디어가 없었다면 아마도 해법을 생각해내지 못 했을 것입니다. 감사합니다! 정리가 되는 대로 올리도록 하겠습니다. 

축하드립니다!

감사합니다!! 풀이도 업로드했습니다. 

잘 풀었습니다!^^

1번입니다

잘 풀었습니다!^^

잘 풀었습니다!^^

잘 풀었습니다!^^

3번 풀이입니다

3번 `각 꼭짓점`에 대한 뒤집기 횟수로 하셨나요?

네

검토가 늦어서 미안합니다~. 김다인 멘토의 피드백은 아래와 같습니다.

아쉽게도 어떤 u에서 세로로 뒤집었다고 해서 이 u를 중점으로 하는 2x2 정사각형이 가로로 놓이는 두 도미노로 덮이게 하기 위해서 다시 u에서 시행을 행해야만 하는 것은 아닙니다. 반례를 좀만 생각해보면 찾을 수 있을거에요! 하지만 좋은 추측이었어요!
 

잘 풀었습니다!^^

잘 풀었습니다!^^

잘 풀었습니다!^^

좋은 생각이네요! 

오 깔끔하네요

감사합니다! 

정답 확인 요청 버튼을 눌려주시면 처리하도록 하겠습니다.^^

정답확인요청 버튼을 눌렀습니다! 

다른 분들도 이렇게 푸신 분들이 있는것 같아서요...

저는 이렇게 풀었는데 아닌것 같아요

(1번)

음 그림이 잘못 된것 아닐까요. 제 생각에는 수학동아에서 잘못 그린것 같습니다. 출제자님 확인부탁드립니다.

아

네 체스판 색은 바뀌지 않습니다

3번은 아직 풀리지 않았어요~