폴리매스

가중 산술-기하 평균 부등식이란 말 그대로 산술-기하 평균 부등식에 가중치가 붙은 형태의 부등식입니다.

부등식은 다음과 같습니다.

임의의 양수 a_i와 인 임의의 양의 유리수 v_i에 대해 다음 부등식이 성립합니다. (실수여도 성립하긴 하지만 일단 양의 유리수라고 합시다.)

단순히 식만 보면 외우기도 쉬워보이고 별로 어렵지 않지만 이 형태로 외워놓기만 하면 적용하는 형태가 잘 안 보여서 막상 써야 할 때 못 쓸 수 있습니다. 그래서 이 부등식의 의미를 아는 것이 중요합니다. 예시로 다음 예제를 한번 풀어봅시다.

예제) 임의의 양수 a에 대해 다음 부등식이 성립함을 증명하여라.

푸셨나요? 풀이는 매우 간단합니다. 3을 1+1+1과 같이 1 3개로 쪼갠 후, a^3+1+1+1에 항 4개짜리 산기를 쓰면 증명이 끝납니다.

그렇다면 이 문제에서는 왜 바로 산기를 쓰면 안 되는 걸까요? 만약 항 2개짜리 산기를 쓴다면 이라는 식이 나오게 됩니다. 물론 이 부등식도 맞는 부등식이지만 우리가 증명하려는 부등식이 아니죠. 그렇기 때문에 우리는 항을 여러개로 쪼개는 방식으로 문제에서 요구하는 부등식을 얻어내야 합니다.

놀라운 것은 이 방식이 위에서 적은 가중 산술-기하 평균 부등식을 적용하는 것과 동일한 방법이라는 것입니다. 가중산기 식에서 각 v_i들을 분모를 통분해준 후, 아까 한 방법처럼 분자의 값만큼 항을 쪼개서 산기를 써준다면 가중산기 부등식이 증명된다는 것을 알 수 있습니다. (이 부분은 여러분이 직접 해보시는걸 추천합니다.)

즉, 가중 산술-기하 평균 부등식은 '항을 적절히 쪼개서 산술-기하 평균 부등식을 적용하는 것' 이라고 알아두기만 하면 됩니다.

그렇다면 항을 몇 개로 쪼개야 할까요? 그냥 그때그때 모든 경우를 해보면서 적절한 개수를 찾으면 될까요?

아까의 예제로 잠깐 돌아가봅시다. 항 2개짜리 산기를 썼을 때랑 4개짜리 산기를 썼을 때의 차이점은 무엇일까요? 여기서 중요한 특징을 한 가지 찾아낼 수 있는데 그것은 바로 차수입니다.

2개짜리를 썼을 때는 우변의 차수가 2지만 4개짜리를 썼을 경우는 차수가 1입니다. 또다른 특징으로는 우변의 차수는 좌변의 각 항들의 차수의 평균이라는 점입니다. 2개짜리의 경우 4차항과 상수항(0차)의 평균인 2차가 나오게 되고, 4개짜리의 경우에는 4차항 1개와 상수항 3개의 평균인 1차가 나오게 된다는 것을 알 수 있습니다.

즉, 우변의 차수를 통해, 좌변의 항을 어떻게 쪼개야 할지를 다음과 같은 과정을 통해 유추할 수 있습니다.

1. 우변의 차수 확인 (a 1차)

2. 좌변의 각 항 차수 확인(a 4차 1개 0차 1개)

3. 좌변 차수의 평균이 우변 차수와 일치하도록 항 쪼개기 (4차 1개와 0차 3개면 평균이 1차가 되므로 상수항을 3개로 쪼개준다.)

4. 산기 적용 후 계수가 맞는지 확인

이러한 방식을 잘 익혀두신다면 큰 어려움 없이 가중산기를 잘 사용하실 수 있을겁니다.