선형대수학 돌아볼 겸 내용을 요약해서 올려보려고 합니다.
선형대수학에서 벡터는 벡터공간의 원소를 말합니다. 벡터공간이란 집합의 일종입니다. 다음 10가지 조건을 만족하면 V는 field F 상의 벡터공간입니다.
(a vector space V over a field F)
1. V의 임의의 두 원소 u, v에 대하여, u+v는 V의 원소이다. (덧셈에 대해 닫혀 있다)
2. V의 임의의 두 원소 v와 F의 임의의 원소 a에 대하여, av는 V의 원소이다. (스칼라 곱에 대해 닫혀 있다)
3. V의 임의의 두 원소 u, v에 대하여, u+v=v+u가 성립한다. (덧셈에 대한 교환법칙)
4. V의 임의의 세 원소 u, v, x에 대하여, (u+v)+x=u+(v+x)가 성립한다. (덧셈에 대한 결합법칙)
5. V에 0이라 쓰여지는 벡터가 존재하여 V의 임의의 원소 v에 대해 v+0=v이다. (덧셈에 대한 항등원 존재)
6. V의 임의의 원소 u에 대해 u+v=0을 만족하는 원소 v가 V에 존재한다. (덧셈에 대한 역원 존재)
7. V의 임의의 원소 v에 대해, 1v=v이다. (스칼라 곱에 대한 항등원 = 1)
8. V의 임의의 원소 v와 F의 임의의 두 원소 a,b에 대해, (ab)v=a(bv)이다.
9. V의 임의의 두 원소 u,v와 F의 임의의 원소 a에 대해, a(u+v)=au+av이다.
10. V의 임의의 원소 v와 F의 임의의 두 원소 a,b에 대해, (a+b)v=av+bv
벡터 공간의 예시를 들어보겠습니다. 
에서 entries(a_1, a_2, b_1, b_2)가 F의 원소라면 이 집합을 F^n이라고 쓰겠습니다.
덧셈과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 위의 10가지 조건을 모두 만족합니다.
따라서 a_1, a_2, b_1, b_2, 그리고 스칼라 c 등이 실수라는 조건이 있다면 
은 field 
상의 벡터공간이 됩니다.
같은 크기의 행렬이나 다항함수는 물론이고, 특수한 경우(모든 변수의 차수가 짝수인 다항함수 등)도 벡터공간임을 확인할 수 있습니다.
문제 : 벡터공간의 정의를 이용하여 다음이 성립함을 증명하시오.
1. 벡터공간 V의 임의의 세 원소 x,y,z에 대해 x+z=y+z이면 x=y이다.
2. 벡터공간 V에서 0은 유일하게 존재한다.
3. 벡터공간 V의 임의의 원소 x에 대하여 x+y=0을 만족하는 y는 V에 유일하게 존재한다.
4. 0x=0이다.
5. 벡터공간 V의 임의의 원소 x와 F의 임의의 원소 a에 대하여 (-a)x=-(ax)=a(-x)이다.
6. F의 임의의 원소 a에 대하여 a0=0이다.
본 내용은 Friedberg의 Linear Algebra를 참고했습니다.
