(본격 삼각파이의 제일 사악한 문제)
양의 정수 n, a가 있다. 만일 n개의 서로 다른 a보다 작은 양의 정수로 구성된 어떤 집합이 존재하여 각각의 부분집합의 원소의 합이 다 서로 다르다고 할 때 n을 a를 좋아한다고 하자.
(1) 8은 100을 좋아한다는 것을 증명하라.
(2) 9는 100을 좋아하지 않음을 증명하라.
(3) p가 임의의 5의 배수 q를 좋아한다고 한다. 이때 가능한 p가 '오사모'(5의배수를 사랑하는 모임) 집합에 속한다고 한다. 이때, 오사모의 집합은 유한집합인지 무한집합인지 판정하여라.
(4)'오사모'에서 중복을 허용하자. 그렇다면 8은 몇 개 들어갈까?
(5)모든 4의 배수는 오사모에 속할까? 그렇다면 이를 증명하고, 아니라면 반례를 들어라.
(6)임의의 소수 k에 대해 'k사모'에 속하는 원소들을 k로 나타내어라.
(7)임의의 수 t에 대해 't사모'에 속하는 원소들을 t로 나타내어라.
(8)삼각파이의 '수학 시계' 추가문제의 '시계 가능 집합'을 생각해보자. '시계 가능 집합'이 'm사모'에 속한다고 할 때, m의 최솟값을 구하여라.
(9)500 이하의 하나의 수 r이 가입할 수 있는 모임의 최댓값을 구하여라.
(10)1000 이하의 하나의 수 s가 최대한 많은 모임에 가입했다고 할 때, s의 최솟값을 구하여라.
(11)b이하의 자연수 c가 가입할 수 있는 모임의 최댓값을 b로 나타내고, 이때의 c의 값을 구하여라.
(12)'2,305,843,009,213,693,951사모'(n=61일 때 메르센 소수)에 속하는 x,y,z가 있다. 이때,
을 만족하는 x,y,z가 존재하는가?
존재한다면 하나의 예를 들고, 존재하지 않는다면 그 이유를 구하여라.
제 하루를 이 문제 만드는데 투자했습니다! 워후!
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(어차피 풀지도 못할 거면서...)
