폴리매스

20번째 문제는

KPP 멤버 '한동규' 님이 만든 문제입니다

반지름의 비가 3:5:7인 세 동심원이 있다. 그림과 같이 각 원 위에 꼭짓점이 하나씩 있는 정삼각형을 그리려고 한다.

<문제>

① 조건을 만족하는 정삼각형의 크기는 총 몇 가지일까? ② 그 정삼각형들의 넓이의 비를 구해 보자. 넓이가 작은 순서대로, 가장 작은 자연수의 비로 나타내자.

★주의 사항★

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당첨자는 수학동아 9월호에 공개합니다!

풀이는 8월 25일 이후 이 게시물에서 확인하세요!

*KPP (Korean Puzzle Party)는 '퍼즐을 좋아하는 사람들의 모임'으로 퍼즐을 모으는 사람, 퍼즐을 만드는 사람, 퍼즐을 푸는 사람들이 모여 직접 만들고 수집한 퍼즐을 함께 풀어보며 이야기를 나눈다. 현재 두 달에 한 번 서울에서 정기적인 모임을 갖고 있으며, 퍼즐을 푸는 것뿐 아니라 퍼즐 관련 행사에 참여하거나 박물관에 다녀오는 등 다양한 활동을 하고 있다. 

스크롤 주의!

아래 정답이 있습니다!

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정답과 해설

①번→ 풀이 참조

②번→ 19:64   

①번 풀이

편의상 각 원의 반지름을 3, 5, 7이라고 하자. 먼저 가장 바깥쪽 원 위에 점 중 하나를 정삼각형의 꼭짓점으로 잡는다. 만약 가장 안쪽 원 위에 있는 꼭짓점을 정하면, 마지막 꼭짓점은 바깥쪽 점을 기준으로 안쪽 점을  회전시킨 위치에 있다. 다시 말해 마지막 꼭짓점은 바깥쪽 꼭짓점을 기준으로 안쪽 원을 회전시킨 원 위에만 존재할 수 있다.

한편, 각 꼭짓점이 각 원 위에 있다는 조건에 따라 마지막 꼭짓점은 반지름의 크기가 5인 원 위에 있어야 하므로, 이 꼭짓점이 위치할 수 있는 곳은 두 원의 교점으로 한정된다. 두 원의 중심 사이의 거리가 7이고, 3+5>7 이므로 두 원은 두 점에서 교차한다. 따라서 위 그림과 같이 두 가지 크기의 정삼각형만 가능하다.

②번 풀이

두 정삼각형의 넓이비는 삼각함수 합차 공식과 코사인 법칙을 이용해 구할 수 있지만, 정삼각형의 한 각이 라는 사실을 이용하면 복잡한 계산 없이 넓이를 계산할 수 있어서 그 방법을 소개한다.

먼저 두 정삼각형 중 작은 정삼각형의 넓이를 구해 보자. 세 정삼각형의 길이가 3인 변과 길이가 5인 변 사이의 각은 이므로, ①번 풀이의 그림을 위와 같이 정삼각형 격자에 옮길 수 있다. 파란색으로 표시된 작은 정삼각형을 그림과 같이 쪼개면 단위 정삼각형 넓이의 배라는 사실을 알 수 있다. 큰 정삼각형도 마찬가지로 격자에 옮겨서 넓이를 구하면 단위 정삼각형 넓이의 64배임을 알 수 있다. 따라서 두 삼각형의 넓이비는 19:64이다.

-끝-