허수도 써먹을 데가 있다!

우리는 허수라는 단위를 고1 수학 때 처음 접하고, 수 체계가 실수와 허수를 통틀어서 생긴 복소수로 확장된다. 하지만 허수를 배우고 시간이 지나도 자세히 다루지 않기에, 허수는 쓸모가 없는 수라고 간과하기 쉽다. 더군다나, 현대 과학을 마련하는 데 매우 큰 기여를 해준 수가 허수라는 사실을 아는 사람들은 별로 없다.

비록 허수가 현대 과학에 어떻게 사용되는지는 서술하지 않았지만, 이 허수를 예술적으로, 수학적으로 사용할 수 있음을 여러분들에게 한번 알리고자 한다. 그렇다면 허수에 대해 자세히 파헤쳐보자!

허수의 탄생과 역사

이탈리아의 의사이자 수학자였던 ‘지롤라모 카르다노(1501-1576)’는 같은 시대에 살았던 수학자인 ‘니콜라노 폰타나(1499-1557)’의 ‘3차 방정식의 근의 공식’을 연구해 1545년, 수학책 <아르스 마그나(Ars Magna, 위대한 기법)>에 다음과 같은 문제를 냈다.

「10을 두 수로 나누어, 그들의 곱이 40이 되도록 하라.」

이 문제를 풀기 위해, 각각의 두 수를 각각 [eqn: x]와 [eqn: (10-x)]로 표현하고 식으로 나타내자면,

[eqn: x`+`(10-x)`=`10# # x` TIMES `(10-x)`=`40]

으로 나타낼 수 있다. 그런데 이 식을 전개하여 생기는 답이 뭔가 이상한 것 같다.

[eqn: x`` TIMES `(10-x)`=`40# # 10x`-`x ^{2} `=`40# # x ^{2} `-`10x`+`40`=`0]

[eqn: 근의``공식을``이용할``시,# # x=5`±` sqrt {-15}]

그 당시에만 해도 허수란 개념은 존재하지 않았기에, 일반적인 수학책이었더라면 ‘[eqn: x]의 답은 없음.’ 이라 했을 것이다. 그러나 <아르스 마그나>에는 ‘정답은 [eqn: x`=`5`±` sqrt {-15}]이다.’라고 명시되어있다. 비록 이 책의 저자인 카르다노 본인은 [eqn: sqrt {-15}]를 수로 인정하지 않고, 궤변적이라고 했지만, 이로 인해 <아르스 마그나>는 허수를 최초로 사용한 수학책이 되었다. 하지만 이 ‘음수의 제곱근’은 당시 수학자들이 쉽게 받아들이지 못했다.

그렇게 시간이 흘러, 프랑스의 철학자이자 수학자였던 ‘르네 데카르트(1596-1650)’는 이 ‘음수의 제곱근’은 그림으로 그릴 수 없다고 결론을 내렸고, 이 숫자는 상상만으로 생긴 수라며 ‘nombre imaginaire(프랑스 어로, 상상의 수.)’ 이라 칭했다.

한편 영국의 수학자 ‘존 월리스(1616-1703)’는 허수의 존재를 정당화하려고 노력했고, 나중에 스위스의 대수학자인 ‘레온하르트 오일러(1707-1783)’가 이를 ‘허수(imaginary number)’라 칭하며, [eqn: sqrt{-1}]을 기호 ‘[eqn: i]’로 정하고 오일러 공식 [eqn: e ^{i` pi } `+`1`=`0]을 발견한다.

허수를 프랙탈에 대입시키면?

네이버 국어사전에서 ‘프랙탈’의 정의를 보면 ‘임의의 한 부분이 전체의 형태와 닮은 도형. 수학자 망델브로가 제시한 것으로, 컴퓨터 그래픽 분야에 널리 응용되고 있으며 자연계에서는 구름 모양이나 해안선 따위에서 볼 수 있다.’ 라고 써져 있다.

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[그림 1, 2, 3, 4. "프랙탈." 네이버. 2019년 5월 5일 수정, 2019년 5월 5일 접속,

https://search.naver.com/search.naver?where=image&sm=tab_jum&query=%ED%94%84%EB%9E%99%ED%83%88#imgId=blog27291202%7C4%7C40041831284_628854324&vType=rollout.]

[자연현상은 불규칙한 것처럼 보이지만, 규칙성이 존재한다.]

프랙탈 이론은 1975년에 처음 제시되었으며, 제시한 사람은 폴란드 태생 프랑스와 미국의 수학자 ‘브누아 망델브로(1924-2010)’이다. 그는 다른 수학자들이 전에 연구했었던 복소평면 위의 프랙탈을 연구하다가, ‘망델브로 집합’을 발견했다.

망델브로 집합은 복소수 [eqn: z]와 복소수 [eqn: c] 2개만을 이용하여,

[eqn: z _{0} =c# # z _{n+1} `=`z _{n} ^{``````2} `+`c]

라는 수열을 무한 반복시키는 단순한 식이다.

이를 통해 [eqn: z_n]의 값이 무한을 향해 발산하지 않도록 하는 [eqn: c]의 값들을 복소평면(복소평면은 다음 장에 기술돼있다.) 위에 나타내며, 발산하는 속도에 따라 채색을 다르게 하면 신비로운 패턴의 도형이 떠오르게 된다.

[그림 5. "File:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg." 위키피디아. 2013년 11월 20일 수정, 2019년 4월 3일 접속, https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg.]

여기서 망델브로는 놀라운 사실을 발견했는데, 이 도형을 계속 확대하다보면 닮은 패턴이 계속 나타난다는 것이었다. 이를 ‘자기 유사성’을 지닌다고 한다.

그림

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[그림 6, 7, 8, 9. "만델브로 집합." 네이버 지식백과. 2010년 11월 1일 수정, 2019년 4월 7일 접속,

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3570554&cid=58944&categoryId=58970.]

[자기 유사성을 지닌 망델브로 집합.]

좌표평면은 잘 아는데, 복소평면은 뭐야?

여러 수학자들이 허수에 대해 연구를 했음에도, 허수의 존재를 인정하지 않은 사람들은 여전히 많았다. 왜냐하면 실수는 머릿속으로 쉽게 떠올릴 수 있는 반면, 허수는 떠올리기 힘들기 때문이다.

이에 여러 수학자들이 허수를 떠올리기 쉽도록 하기 위해 허수를 가시화하자는 생각을 고안했다.

덴마크의 측량 기사인 ‘카스파르 베셀(1745-1818)’은 “실수의 수직선이 좌우로 뻗은 것처럼 허수의 수직선을 위아래로 뻗으면 되지 않을까?”라는 견해를 내놓았었고, 프랑스의 회계사인 ‘장 로베르 아르강(1768-1822)’과 독일의 수학자 ‘카를 프리드리히 가우스(1777-1855)’도 같은 아이디어를 생각했다. 그리고 가우스는 이렇게 평면 위에 점으로 나타낼 수 있는 수, 즉 실수와 허수를 모두 가진 수를 복소수(Complex number) 라고 칭한다.

[그림 10.  "[수1 이론]복소수와 복소평면." 네이버 지식백과. 2016년 5월 9일 수정, 2019년 4월 7일 접속,

https://j1w2k3.tistory.com/1004. / ‘그림판’을 이용해 수정]

우리들이 흔히 아는 좌표평면이랑 형태가 유사하지만, [eqn: y]축이 ‘허수축’이다.

또한 점을 표기할 때 [eqn: x]의 값이 ‘[eqn: a]’이고, [eqn: y]의 값이 ‘[eqn: b`i]’일 시, [eqn: (a`,`b`i)]가 아니고 ‘[eqn: a+b`i]’ 라고 표현한다.

이렇게 가우스를 비롯한 수학자들이 만든 좌표평면을 복소평면(혹은 가우스 평면)이라고 한다.

복소평면을 이용하면 정다각형을 작도할 수 있다!

이 복소평면은 어디에 사용할 수 있을까? 우리들은 이 복소평면을 정다각형을 작도하는 데에 사용할 수 있다. 원리만 알고 있다면 매우 간단하게 작도할 수 있으며, 예시로 정12각형을 작도해보려고 한다.

우선 복소평면을 통해 정다각형을 작도하기 전, ‘극좌표 표기’와 ‘드무아브르 정리’, 그리고 ‘대수학의 기본 정리’를 알아야 한다.

*-*-*-*-*

극좌표 표기

우선 ‘극좌표 표시’에 대해 알아보자. 복소평면의 좌표를 표기하는 방법은 크게 2가지가 있다. 첫 번째는 ‘실수 + 허수’ 형태로 쓰는 것이고 (예를 들어 실수가 3, 허수가 2[eqn: i]일 시, ‘3 + 2[eqn: i]’ 라고 표기한다.), 두 번째는 ‘극좌표 표기’이다.

극좌표 표기는 일반적인 평면좌표의 점 표기법처럼 ([eqn: x],[eqn: y]) 형태로 하지만 앞의 [eqn: x]에는 ‘원점으로부터 거리’를 쓰고, 뒤의 [eqn: y]에는 ‘편각’을 쓴다.

[그림 11. “지오지브라.” 지오지브라. 2019년 4월 7일 접속,

https://www.geogebra.org/classic?lang=ko. / ‘그림판’을 이용해 수정.]

예를 들어 위 함수에 있는 점 A를 극좌표 표기로 나타낼 때, 원점으로부터의 거리는 [eqn: 2 sqrt {2}]고, 편각은 [eqn: 45 DEG]이니 ([eqn: 2 sqrt {2}],[eqn: 45 DEG])로 표기하면 된다.

극좌표 표기에는 재미있는 성질이 있다. 일반적인 점 표기법 ([eqn: x],[eqn: y])로는 서로 다른 두 점을 곱할 수는 없지만, 극좌표 표기는 두 점을 곱하는 것을 매우 간단히 할 수 있다. 곱할 때, 원점으로부터의 거리끼리는 서로 곱하고, 뒷부분의 편각끼리는 서로 더하면 된다.

이를 수식으로 표현하자면,

[eqn: z _{1} `(r _{1} `,` theta _{1} )` TIMES `z _{2} `(r _{2} `,` theta _{2} )# # =z(r _{1} r _{2} `,` theta _{1} `+` theta _{2} )로``표현할``수``있다.]

증명

극좌표 표기로 표현된 두 점 [eqn: z _{1} `(r _{1} ,`` theta _{1} )], [eqn: z _{2} `(r _{2} ,` theta _{2} )]을 복소평면의 일반적인 점 표기법으로 나타낼 시,

[eqn: z _{1} =r _{1} (cos theta _{1} `+`i`sin theta _{1} )], [eqn: z _{2} =r _{2} (cos theta _{2} +i`sin theta _{2} )] 이 된다.

[그림 12. "극좌표계." 위키피디아. 2019년 2월 15일 수정, 2019년 4월 7일 접속,

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B7%B9%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84. / ‘그림판’을 이용해 수정.]

이 때 주의할 점이 있는데, [eqn: sin] 부분은 허수축이기 때문에 [eqn: i]를 붙여야 한다.]

이 두 점은 오일러의 공식([eqn: (cos` theta `+`i`sin` theta )`=`e ^{i theta }], [eqn: e]는 자연상수) 을 통해 표현할 수 있으며, 각각 오일러의 공식을 통해 표현할 시,

[eqn: z _{1} =r _{1} `e ^{i theta _{1}}], [eqn: z _{2} =r _{2} `e ^{i theta _{2}}] 로 표현된다.

두 점을 곱할 시,

[eqn: z _{1} z _{2} =r _{1} `e ^{i` theta _{1}} ` TIMES `r _{2} `e ^{i` theta _{2}} `=`r _{1} `r _{2`} e ^{i`( theta _{1} `+` theta _{2} )}] 가 나온다.

다시 복소평면의 일반적인 점 표기법으로 바꿔서 표현할 시,

[eqn: r _{1} r _{2} `[cos`( theta _{1} + theta _{2} )`+`i`sin( theta _{1} + theta _{2} )]]로 된다.

이를 극좌표 표기로 바꿀 시, [eqn: z`(r _{1} r _{2} `,` theta _{1} + theta _{2} )] 가 되므로, 위의 특징은 참이다.

(이를 그림으로 표현할 시, 임의의 점을 곱할 때 해당 각도만큼 반시계방향으로 회전하며, 원점으로부터의 거리가 1 미만일 시 축소되고, 1일 시 그대로이며, 1 초과일 시 늘어나는 것을 알 수 있다.)

이 특징을 이용하여 임의의 점 [eqn: z _{0} `(r`,` theta _{1} )]에 [eqn: (1,` theta _{2} )] 를 곱할 시, [eqn: z`(r`,` theta _{1} + theta _{2} )]가 된다.

즉 점 [eqn: z _{0}]이 시계 반대 방향으로 [eqn: theta _{2}]만큼 회전한다는 것이다.

[그림 ]

[임의의 점 [eqn: P(r`,` theta )]에 [eqn: (1, theta _{2} )]를 곱할 시, 점 [eqn: P]는 [eqn: theta_2]만큼 회전한다.]

*-*-*-*-*

드무아브르의 정리

드무아브르의 정리(de Moivre’s theorem)는 다음과 같다.

[eqn: (cos`x`+`i`sin`x) ^{n} =cos`nx`+`i`sin`nx`(단,`n은``정수)]

이를 증명해 보자.

증명

1. [eqn: n>0]일 때에는 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.

[eqn: n=1]일 시, 당연히 성립된다.

[eqn: n=k]일 시, [eqn: (cos`x+i`sin`x) ^{k} =(cos`kx+i`sin`kx)] 이다.

[eqn: n=k+1]일 시,

[eqn: (cos`x+i`sin`x) ^{k+1} =(cos`x+i`sinx) ^{k} ` TIMES `(cos`x`+i`sin`x)# # =(cos`kx`+`i`sin`kx)(cos`x`+`i`sin`x)# # =cos`kx`` TIMES `cos`x`-`sin`kx` TIMES ``sinx`+`i(cos`kx` TIMES ``sin`x`+`sin`kx` TIMES `cos`x)]

이 때, 삼각함수의 덧셈 공식

[eqn: sin( alpha + beta )=sin` alpha ` TIMES `cos` beta +cos` alpha ` TIMES `sin` beta # # cos( alpha + beta )=cos` alpha ` TIMES `cos` beta -sin` alpha ` TIMES `sin` beta `을`이용하여,]

[eqn: cos`kx` TIMES `cosx-sin`kx` TIMES `sin`x`+`i(cos`kx` TIMES `sin`x`+sin`kx` TIMES `cos`x)# # =cos(kx+x)+i`sin(kx+x)# # =cos(k+1)x+i`sin(k+1)x`가`나온다.]

2. [eqn: n=0]일 때.

[eqn: (cos`x+i`sin`x) ^{0} =cos0`+`i`sin0]

좌변 같은 경우, 임의의 수의 0제곱은 1이므로 1이 된다.

우변 같은 경우, [eqn: cos0`=`1`,`sin0`=`0]이므로 [eqn: 1+i` TIMES `0=1]이 된다.

따라서 좌변과 우변의 값이 같으므로 [eqn: n=0]일 때에는 참이다.

3. [eqn: n<0]일 때.

[eqn: n=-m`(m은`양의`정수)]으로 바꿔서 표현할 시,

[eqn: (cos`x+i`sin`x) ^{-m} = {1} over {(cos`x`+`i`sin`x) ^{m}} = {1} over {cos`mx+i`sin`mx}] 가 된다.

분자, 분모에다가 [eqn: cos`mx+i`sin`mx]의 켤레 복소수인 [eqn: cos`mx`-`i`sin`mx]를 곱할 시,

[eqn: {1} over {cos`mx+i`sin`mx} TIMES ` {cos`mx-i`sin`mx} over {cos`mx`-`i`sin`mx}# # = {cos`mx`-`i`sin`mx} over {(cos`mx+i`sin`mx)(cos`mx-i`sin`mx)}# # = {cos`mx-i`sin`mx} over {(cos`mx) ^{2} +(sin`mx) ^{2}}]

이 때, 삼각함수의 제곱공식 [eqn: (cos`mx) ^{2} +(sin`mx) ^{2} =1]임을 이용하여,

[eqn: {cos`mx-i`sin`mx} over {(cos`mx) ^{2} +(sin`mx) ^{2}}# # = {cos`mx-i`sin`mx} over {1}# # =cos`mx-i`sin`mx`가`나온다.]

이후 우함수와 기함수의 특징을 이용하며, 따라서

[eqn: cosmx-i`sin`mx] 에서 [eqn: cos`mx=cos(-mx)], [eqn: -i`sinmx=i`sin(-mx)]이므로,

[eqn: cos`mx-i`sin`mx=cos(-mx)+i`sin(-mx)]가 된다.

[eqn: n=-m]이므로, [eqn: -m]에 [eqn: n] 대입 시,

[eqn: cos(-mx)+i`sin(-mx)=cos`nx+i`sin`nx]

따라서 [eqn: n<0]일 때에도 참이므로, 드무아브르의 정리는 참임을 증명했다.

*-*-*-*-*

대수학의 기본 정리

대수학의 기본 정리는 쉽게 말하자면 ‘[eqn: n]차방정식의 해는 복소수의 범위로 확장 시, [eqn: n]개가 나온다.’ 라고 할 수 있다. (그러나 이를 증명하기 위해서는 복소해석학을 이용해야 하며, 필자의 한계로 인해 이곳에서는 증명 과정을 나타내지 못했다.)

*-*-*-*-*

이 세 가지의 특징만 안다면 정다각형을 쉽게 작도할 수 있다.

예시로 정12각형을 작도해보자.

우선 [eqn: x^{12}=1]이라는 [eqn: x]에 대한 12차방정식을 쓰고, 원점을 중심으로 한 반지름이 1인 원을 그린다.

[그림 ]

[원점을 중심으로 한 반지름이 1인 원]

[eqn: x ^{12} =1]을 만족하는 [eqn: x]는 대수학의 기본 정리에 의하면 12개이다.

[eqn: x]의 값을 구하기 위해, 드무아브르의 정리

[eqn: (cos` theta `+`i`sin` theta ) ^{n} =cos`n` theta `+`i`sin`n` theta `(단,`n은``정수)]

를 사용한다.

[eqn: cos 0 +i sin0=1]이고, 함수에서의 각도는 [eqn: 360`x DEG =0 DEG](단, [eqn: x]는 정수)를 만족한다.

[eqn: (cos`30 DEG +i`sin`30 DEG ) ^{12} =(cos`12 TIMES 30 DEG `+`i`sin12 TIMES 30 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=(cos`360 DEG +`i`sin`360 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=(cos`0 DEG `+`i`sin`0 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=1]

[eqn: (cos`60 DEG +i`sin`60 DEG ) ^{12} =(cos`12 TIMES 60 DEG `+`i`sin12 TIMES 60 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=(cos`720 DEG +`i`sin`720 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=(cos`360times2 DEG `+`i`sin`360times2 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=1]

[eqn: (cos`90 DEG +i`sin`90 DEG ) ^{12} =(cos`12 TIMES 90 DEG `+`i`sin12 TIMES 90 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=(cos`360times3 DEG +`i`sin`360times3 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=(cos`0 DEG `+`i`sin`0 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=1]

[eqn: (cos`120 DEG +i`sin`120 DEG ) ^{12} =(cos`12 TIMES 120 DEG `+`i`sin12 TIMES 120 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=(cos`360times4 DEG +`i`sin`360times4 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=(cos`0 DEG `+`i`sin`0 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=1]

……

[eqn: (cos`360 DEG +i`sin`360 DEG ) ^{12} =(cos`12 TIMES 360 DEG `+`i`sin12 TIMES 360 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=(cos`0 DEG `+`i`sin`0 DEG )# ````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=1]

즉 [eqn: x ^{12} =1]을 만족하는 [eqn: x]의 값은,

[eqn: (cos`30 DEG +i`sin`30 DEG ),`(cos`60 DEG +i`sin`60 DEG ),`(cos`90 DEG +i`sin`90 DEG ),# (cos`120 DEG +i`sin`120 DEG ),` CDOTS CDOTS `,(cos`360 DEG +i`sin`360 DEG )`이다.]

이 [eqn: x]의 값들을 극좌표 표기로 변환할 시,

점 [eqn: x _{1} (1`,`30 DEG )`,`x _{2} (1`,`60 DEG )`,`x _{3} (1`,`90 DEG )`,`x _{4} (1`,`120 DEG )` CDOTS CDOTS `,`x _{12} (1`,`360 DEG )] 로 바꿔 쓸 수 있으며, 이는 점들이 시계 반대 방향으로 [eqn: 30DEG]씩 회전한다는 의미다.

이로 인해, [eqn: x ^{12} =1]를 만족하는 [eqn: x]의 값을 복소평면에 대입하면 다음과 같은 형태가 나온다.

[그림  “데스모스.” 데스모스. 2019년 4월 7일 접속,

https://www.desmos.com/calculator.]

[[eqn: x ^{12} =1]을 만족하는 12개의 [eqn: x]의 값.]

위의 함수처럼 12개의 점들이 원 위에 있으며, 각각의 점들은 [eqn: 30DEG]만큼 떨어진 채로 위치한다. 이 점들을 이을 시,

[그림  “데스모스.” 데스모스. 2019년 4월 7일 접속,

https://www.desmos.com/calculator / ‘그림판’을 이용해 수정.]

정12각형이 작도되며, 이 방법을 사용하면 어느 정다각형이든 작도할 수 있다!

참고 문헌

[기무라 순이치, 와다 스미오, 허수란 무엇인가?, 뉴턴 하이라이트 29, 뉴턴사이언스(잡지), 2015.08.10.]

[브누아 망델브로, 위키피디아. 2018년 11월 15일 수정, 2019년 4월 3일 접속,

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B8%8C%EB%88%84%EC%95%84_%EB%A7%9D%EB%8D%B8%EB%B8%8C%EB%A1%9C]

[허수의 탄생, 2019년 4월 3일 접속, http://weteacher.net/math/number/number08.htm]

[망델브로 집합, 자바실험실. 2019년 4월 3일 접속, https://javalab.org/mandelbrot_set/]

[[네이버 지식백과] 만델브로 집합 - 복소수와 프랙탈 (수학산책, 박부성)

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3570554&cid=58944&categoryId=58970]

[극좌표계, 위키피디아. 2019년 2월 15일 수정, 2019년 4월 7일 접속,

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B7%B9%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84]

[미야구치 유우지, 수학을 다시 시작하는 책 중 “대응, 함수 이야기.”, 149~150. 서울: 자음과모음, 2000.]

[[네이버 지식백과] 드무아브르의 정리 (수학백과, 2015.5)

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3338252&cid=47324&categoryId=47324]

[드무아브르의 공식, 위키피디아. 2018년 12월 6일 수정, 2019년 4월 7일 접속,

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%93%9C%EB%AC%B4%EC%95%84%EB%B8%8C%EB%A5%B4%EC%9D%98_%EA%B3%B5%EC%8B%9D]

[[Engineering Mathematics] 드 무아브르 공식 증명하기, 2012년 12월 2일 수정, 2019년 4월 7일 접속, http://egloos.zum.com/saruchi/v/2062854]

[우함수와 기함수, 네이버 블로그. 2014.09.28. 수정, 2019년 4월 7일 접속,

https://blog.naver.com/junhyuk7272/220134890545]