Q) 폭이 각각 p, q인 ‘ㄴ’자 모양의 복도에서 길이가 l인 사다리를 옮기려고 한다. 이 사다리는 직선 모양이며 휘어지지 않는다. l이 가질 수 있는 최댓값은 얼마인가.

A) 사다리의 길이가 최대가 될 때는 복도의 모서리 R 지점에 맞닿을 때다. 이 복도를 좌표에 옮기면 사다리의 끝부분이 x, y축과 만나는 좌표는 A(a, 0), B(0, b)다. 이때 b는 피타고라스의 정리에 의해 [eqn: sqrt {l ^{2} -a ^{2}}]로 쓸 수 있다. 즉, A(a, 0), B(0, [eqn: sqrt {l ^{2} -a ^{2}}])다.

사다리를 좌표 위에 있는 직선으로 생각하면, 이 직선의 기울기는 [eqn: - {b} over {a}]다. 즉, [eqn: - {sqrt {l ^{2} -a ^{2}}} over {a}]이며, 직선의 방정식으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {1} over {a} x+ {1} over {sqrt {l ^{2} -a ^{2}}} y-1=0]

문제에서 모서리 점 R은 좌표에서 R(p, q)로 표시된다. 즉, R이 위 직선의 방정식에 있는 점일 때는 아래 수식을 만족한다.

[eqn: {1} over {a} p+ {1} over {sqrt {l ^{2} -a ^{2}}} q-1=0]

R이 직선 위에 있지 않은 경우 적어도 R이 직선보다 위에 있는 점이어야 사다리(직선)가 모서리를 지나갈 수 있다. 즉, 다음 식을 만족해야 한다.

[eqn: {1} over {a} p+ {1} over {sqrt {l ^{2} -a ^{2}}} q-1>0]

이제 위 수식을 [eqn: a]에 대한 함수 [eqn: phi (a)]로 정의해 보자.

[eqn: phi (a)= {1} over {a} p+ {1} over {sqrt {l ^{2} -a ^{2}}} q-1,`0<a<l]

사다리는 다음 조건을 만족할 때 꺾인 복도를 지날 수 있다.

[eqn: phi (a) GEQ 0,`0<a<l]

즉, [eqn: phi (a)]가 [eqn: 0<a<l] 범위에서 갖는 극솟값이 0과 같거나 더 크다는 것을 확인하면 된다.

함수를 한 번 미분했을 때 그 값이 0이 되는 지점은 함수의 기울기가 변하는 지점인 극댓값 혹은 극솟값을 갖는 지점이라는 점을 이용하자.

[eqn: phi prime (a)=- {p} over {a ^{2}} + {aq} over {(l ^{2} -a ^{2} ) ^{{3} over {2}}}]가 된다. 이제 미분한 함수를 한 번 더 미분한 값이 0보다 크면 극솟값, 0보다 작으면 극댓값을 갖는 지점이라는 점을 이용하자.

[eqn: phi prime prime (a)= {2p} over {a ^{3}} + {q(l ^{2} -a ^{2} ) {3} over {2} +3a ^{2} q sqrt {l ^{2} -a ^{2}}} over {(l ^{2} -a ^{2} ) ^{3}}]

위 식을 보면 두 번 미분한 값은 [eqn: a]가 0과 l 사이일 때 무조건 0보다 크다는 것을 알 수 있다. 즉, [eqn: phi (a)]가 아래로 볼록한 모양이라는 것을 알려준다.

이제 극솟값을 찾으려면 한 번 미분한 값이 0이 되는 [eqn: a]값을 찾아야 한다.

[eqn: - {p} over {a ^{2}} + {aq} over {(l ^{2} -a ^{2} ) ^{{3} over {2}}} =0]

양쪽 변에 [eqn: a ^{2} (l ^{2} -a ^{2} ) ^{{3} over {2}}]를 곱해 주면, [eqn: -p(l ^{2} -a ^{2} ) ^{{3} over {2}} +a ^{3} q=0]가 되고, 이를 [eqn: a]에 대해 정리하면 극솟값을 주는 [eqn: a _{0}]값을 알 수 있다.

[eqn: a _{0} =a= {p ^{{1} over {3}} l} over {sqrt {p ^{{2} over {3}} +q ^{{2} over {3}}}}]가 된다. p, q, l 값이 주어지면 [eqn: a _{0}]값과 [eqn: phi (a _{0} )]을 구할 수 있다.

그리고 [eqn: phi (a _{0} )=0]일 때 사다리가 R에 닿게 되고, 길이가 최대가 된다.

이제 사다리가 R에 닿을 때를 나타내는 식에서 [eqn: a]에 [eqn: a _{0}]값을 넣고 정리하면 다음과 같다.

[eqn: {1} over {a _{0}} p+ {1} over {sqrt {l ^{2} -a _{0} ^{2}}} q-1=0# # {p sqrt {p ^{{2} over {3}} +q ^{{2} over {3}}}} over {p ^{{1} over {3}} l} + {q} over {sqrt {l ^{2} - {p ^{{2} over {3}} l ^{2}} over {p ^{{2} over {3}} +q ^{{2} over {3}}}}} -1=0# # p ^{{2} over {3}} sqrt {p ^{{2} over {3}} +q ^{{2} over {3}}} +q ^{{2} over {3}} sqrt {p ^{{2} over {3}} +q ^{{2} over {3}}} -l=0# # l=(p ^{{2} over {3}} +q ^{{2} over {3}} ) sqrt {p ^{{2} over {3}} +q ^{{2} over {3}}}# ````=`(p ^{{2} over {3}} +q ^{{2} over {3}} ) ^{{3} over {2}}]

즉, 폭이 각각 p와 q인 ‘ㄴ’자 모양의 복도를 지날 수 있는 사다리의 최대 길이 [eqn: l _{max}]은 [eqn: l _{max} =(p ^{{2} over {3}} +q ^{{2} over {3}} ) ^{{3} over {2}}]가 된다. 예를 들어 p와 q가 각각 1일 때는 [eqn: l _{max}]가 [eqn: 2 sqrt {2}]가 된다.