퀴즈킹&유니스트 11월호 정답 및 해설

[문제3] 정답 : [eqn: bold{J}]

출제의도 : 3의 잉여류를 활용하여 문제를 해결할 수 있는가

이 문제는 검정색 별 스티커를 이용하여 각 이름표에 해당하는 빼빼로에 부여된 숫자를 추론하여 7번째 검정색 별 스티커가 붙게 될 빼빼로를 찾아야한다.

검정색 별 스티커는 3으로 나눈 나머지가 0일 때 붙이게 되므로 주어진 1~11까지의 11개의 수를 3으로 나눈 나머지에 따라 분류하면 다음과 같다.

[eqn: 0] : [eqn: 3,~6,~9] / [eqn: 1] : [eqn: 1,~4,~7,~10] / [eqn: 2] : [eqn: 2,~5,~8,~11]

3으로 나눈 나머지를 [eqn: a]라 할 때, 각 숫자는 [eqn: 3k+a]의 꼴로 표현할 수 있다. ([eqn: a=0,~1,~2])

검정색 별 스티커가 붙은 순서가 C-F-I-G-H-I 이므로 하나씩 살펴보자.

(1) C

첫 번째로 검정색 별 스티커가 붙은 빼빼로가 C라는 뜻은, A와 B는 흰색 별 스티커를 1개씩 가졌을 때 3으로 나눈 나머지가 0이 아니라는 뜻이다. 즉, A와 B는 [eqn: 3k+2] 꼴이 아니다. 또한 같은 이유로 C는 [eqn: 3k+2]꼴이다.

(만약, A 또는 B가 3으로 나눈 나머지가 2 ([eqn: 3k+2]꼴)면 C보다 앞에 위치하므로 흰색 별 스티커 1개에 의해 3으로 나눈 나머지가 0이 되면서 검정색 별 스티커를 갖게 된다.)

	[eqn: 3k]	[eqn: 3k+1]	[eqn: 3k+2]	흰색 별 스티커
A			X	☆
B			X	☆
C	X	X	O	☆

(2) F

D부터는 [규칙2]에 따라 흰색 별 스티커를 2개씩 붙인다.

즉, 두 번째로 검정색 별 스티커가 붙은 빼빼로가 F라는 뜻은, D와 E는 흰색 별 스티커를 2개씩 가졌을 때 3으로 나눈 나머지가 0이 아니라는 뜻이다. 즉, D와 E는 [eqn: 3k+1] 꼴이 아니다. 또한 같은 이유로 F는 [eqn: 3k+1]꼴이다.

	[eqn: 3k]	[eqn: 3k+1]	[eqn: 3k+2]	흰색 별 스티커
D		X		☆☆
E		X		☆☆
F	X	O	X	☆☆

(3) I

G부터는 [규칙2]에 따라 흰색 별 스티커를 3개씩 붙인다.

즉, 세 번째로 검정색 별 스티커가 붙은 빼빼로가 I라는 뜻은, G와 H는 흰색 별 스티커를 3개씩 가졌을 때 3으로 나눈 나머지가 0이 아니라는 뜻이다. 즉, G와 H는 [eqn: 3k] 꼴이 아니다. 또한 같은 이유로 I는 [eqn: 3k]꼴이다.

	[eqn: 3k]	[eqn: 3k+1]	[eqn: 3k+2]	흰색 별 스티커
G	X			☆☆☆
H	X			☆☆☆
I	O	X	X	☆☆☆

(4) G

이제 다시 J부터는 흰색 별 스티커를 4개씩 붙인다. 그러나 우리는 3으로 나눈 나머지만 알면 되므로 사실상 흰색 별 스티커를 1개씩 붙인 것과 다름이 없다.

네 번째로 검정색 별 스티커가 붙은 빼빼로가 G라는 점은 J, K, A, B, C, D, E, F를 모두 지나면서 단 한 번도 3으로 나눈 나머지가 0이 되지 않았다는 뜻이다.

이전까지 갖고 있던 흰색 별 스티커의 개수로 묶어보면 다음과 같다.

	0	1	2	3
이름표	J, K	A, B, C	D, E, F	G

즉, 4개(사실상 1개로 생각해도 된다)를 추가한 형태는

	4(1)	5(2)	6(0)	7(1)
이름표	J, K	A, B, C	D, E, F	G

이므로 J, K는 [eqn: 3k+2]꼴이 아니고, 같은 이유로 A, B, C는 [eqn: 3k+1]꼴이 아니고, D, E, F는 [eqn: 3k]꼴이 아니다. 또한, G는 [eqn: 3k+2]꼴이다.

따라서 이름표 A~G, I를 가진 빼빼로가 가진 수의 꼴을 확정할 수 있다.

	[eqn: 3k]	[eqn: 3k+1]	[eqn: 3k+2]	흰색 별 스티커
A	O	X	X	☆×5
B	O	X	X	☆×5
C	X	X	O	☆×5
D	X	X	O	☆×6
E	X	X	O	☆×6
F	X	O	X	☆×6
G	X	X	O	☆×7
H	X			☆×3
I	O	X	X	☆×3

처음에 [eqn: 3k]꼴의 수가 3개, [eqn: 3k+2]꼴의 수가 4개였으므로 남은 H, J, K는 반드시 [eqn: 3k+1]일 수 밖에 없다.

이름표	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
나머지	0	0	2	2	2	1	2	1	0	1	1

같은 방법으로 5, 6, 7번째 검정색 별 스티커는 각각 H, I J에 붙게 된다.

H, I, J가 기존에 갖고 있던 흰색 별 스티커의 개수는 3, 3, 4이고

먼저 H는 5개의 스티커가 붙으면 총 8개, [eqn: 3k+1]꼴이므로 가능하다.

다음으로 I는 6개의 스티커가 붙으면 총 9개, [eqn: 3k]꼴이므로 가능하다.

마지막으로 J는 7개의 스티커가 붙으면 총 11개, [eqn: 3k+1]꼴이므로 가능하다.

따라서 7번째 검정색 별 스티커가 붙는 빼빼로는 J이다.