한 변의 길이가 1인 정삼각형 7개의 넓이의 합은 [eqn: {7sqrt{3}} over {4}]이다. 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: a]라고 할 때, 정육각형의 넓이는 [eqn: {3sqrt{3}} over {2} a^2]이다. 정육각형의 넓이가 정삼각형 7개의 넓이보다 크다면, 덮을 수 없을 것이다. 그러한 [eqn: a]의 범위를 찾기 위해 부등식을 세우면 다음과 같다.

[eqn: {3 sqrt {3}} over {2} a ^{2} > {7sqrt{3}} over {4}]

정리하면 [eqn: a> {sqrt{42}} over {6}]에서 정육각형의 넓이가 더 커지게 되어 덮을 수 없게 된다.

한 변의 길이가 1인 정삼각형 내부(경계포함)의 임의의 두 점 사이의 거리는 최대 1이다. 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: a]라고 하자. (단, [eqn: 1<a< {sqrt{42}} over {6}]이다.) 이때, 정육각형 내부에 7개의 점 [eqn: A_{1} , A_{2} , CDOTS , A_{7}]을 아래 그림과 같이 잡자.

<그림 > 각 꼭짓점 위의 점 [eqn: A_{1} , A_{2} , CDOTS , A_{6}]과 정육각형의 중심 [eqn: A_{7}]

[Logic 1]

각 점끼리의 거리가 [eqn: a]이고, [eqn: a>1]이므로, 정삼각형이 정육각형을 덮을 때, 7개의 정삼각형이 각각 한 점을 무조건 포함해야 한다. (다시 말해, 한 정삼각형이 두 점을 동시에 포함 할 수 없다.)

각 점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 그리면 다음 그림과 같다. (이해의 편의성을 위해 실제 비율을 과장하여 그렸다.)

<그림 > 각 점을 중심으로하고 반지름이 1인 원들

1이상 7이하의 자연수 [eqn: i]와 1이상 6 이하의 자연수 [eqn: j]에 대해 [eqn: A_{i}]를 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 [eqn: C_{i}]라고 하고, 그림에서 붉은 색으로 빗금 친 영역을 [eqn: M]이라고 하고, 점 [eqn: A _{j}]를 포함하는 푸른 색으로 빗금친 영역을 일반적으로 [eqn: S _{j}]라고 하자. (위 그림에서 푸른 색으로 빗금친 영역은 [eqn: S_{4}]가 된다.) 추가적으로 점 [eqn: A_{i}]를 포함하게 될 정삼각형을 [eqn: T_{i}]라고 하자.

영역 [eqn: M]은 [eqn: C_{1} , C_{2} , CDOTS , C_{6}] 밖에 존재하므로 덮을 때, [eqn: T_{7}]이 덮어야 한다. 또한, 영역 [eqn: S _{j}]를 덮을 수 있는 것은 [Logic 1]에 의해 [eqn: T_{j}]뿐이다.

정육각형은 대칭적이므로 일반성을 잃지 않고 [eqn: S_{4}]에 대해 생각하자. 일반적으로 [eqn: S_{4}]를 덮을 수 있는 방법은 다음과 같다.

<그림 > [eqn: S_{4}]를 덮는 한 변의 길이가 1인 정삼각형

위 그림의 삼각형은 [eqn: S_{4}]를 포함하면서 회전이 가능하다. 그런데 다음 상황을 생각해보자.

<그림 > [eqn: T_{j}]와 추가 푸른색 영역

[eqn: T_{4}]는 ③이나 ④ 중에서 하나를 포함할 수 있다. 일반성을 잃지 않고 영역 ④를 포함한다고 하자. 그러면 영역 ③은 [eqn: T_{3}]이 포함해야 한다.…… 영역 ⑤는 [eqn: T_{5}]가 덮어야 한다. 이를 효율적으로 덮으려면 다음과 같이 덮어야 한다는 것을 알 수 있다.

<그림 > 최적화로 덮기

시각적인 이해를 돕기 위해 과장되게 그렸으나, [eqn: a>1]이므로 파란색 선으로 되어있는 폐곡면(호루라기처럼 생긴)이 남게된다. 이 폐곡면은 [eqn: T_{7}]이 덮을 수 없다. ᄄᆞ라서 정삼각형 7개로 정육각형을 덮을 수 없다.