문제. 지하로 m층, 지상으로 n층까지 와 0층이 있는 빌딩이 있다.

각 층수는 연속한 정수이다. 0층에서 누군가 엘리베이터를 호출할 확률은 1/2이고, 나머지 층은 호출 확률이 모두 같다. 엘리베이터의 이동 거리를 현재 층과 호출 층의 층수 차로 정의할 때, 이동 거리의 기댓값이 가장 작아지는 층수는 어딜까?

[eqn: F]층에서 거리의 기댓값 [eqn: d(m,n,F)]는 다음과 같다.

[eqn: d(m,n,F)= {1} over {2} |F``|+ {1} over {2(m+n)} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} |F-k|+ sum _{k=1} ^{m} |F+k| RIGHT )]

이제 [eqn: m], [eqn: n]을 상수로 놓고 [eqn: d(m,n,F)]가 최소인 [eqn: F]를 구하자.

[eqn: DELTA (m,n,F)=d(m,n,F)-d(m,n,F-1)]로 정의하면, telescoping에 의해 다음이 나온다.

[eqn: Delta(m,n,F)= 1 over {2(m+n)} left( |F-1|-|F-(n+1)|+|F+m|-|F| right) + 1 over 2 (|F|-|F-1|)]

그런데 ([eqn: F]에 대한) 방정식 [eqn: DELTA (m,n,F)=0]은 [eqn: (-inf,inf)]에서 증가하고,

유일한 실근 [eqn: 0<F= {n} over {n+m} <1]을 가지므로, 이것을 통해 [eqn: d(m,n,F)]는 [eqn: F=0]에서 최소임을 알 수 있다. 따라서 문제의 조건을 만족하는 층수는 0층이다.