정의

먼저 하는 사람을 X, 나중에 하는 사람을 Y, X가 1번 칸에 수를 두는 것을 X1, 여러 가지 경우가 있으면 X1(2)와 같은 식으로 두자. (그림에는 Y가 O로 표시되어 있다.)

단, 칸의 번호는 다음과 같다.

1	2	3

4	5	6

7	8	9

용어 정의.

삼목: 같은 사람이 놓은 세 말이 나란히 있는 것. 즉 삼목을 놓으면 이길 수 있다.

이목: 말 하나만 더 놓으면 삼목을 만들 수 있는 상황. 이목은 두 말이 떨어져 있어도 가능하다. (Y  Y 같은 경우)

L: 이목 두 개가 한 점을 공유하는 상황이다. 단 공유하는 그 한 점에는 말이 있는 상황이어야 한다. L을 놓으면 반드시 이길 수 있다.

이때 우리가 확인해야 할 경우의 수는 X의 첫 수가 X1, X2, X5인 세 가지 경우이다.

1) X1으로 시작할 때: Y5로 이어진다. Y2, Y3, Y6, Y9의 경우 X가 각각 X5, X7, X5, X3에 두면 아래와 같은 상황이 일어나 X가 L을 놓을 수 있어 Y가 무조건 패배하기 때문이다. (대칭적인 수는 하나만 살펴보기로 하자.)

X1 -> Y2 -> X5 -> Y9 -> X7

X1 -> Y3 -> X7 -> Y4 -> X9

X1 -> Y6 -> X5 -> Y9 -> X3

X1 -> Y9 -> X3 -> Y2 -> X7

따라서 Y는 Y5를 놓아야 한다. 이제 Y5 다음에 무슨 수를 놓을 수 있는지 살펴보자.

Y5 다음에 놓을 수 있는 수는 X2, X3, X6, X9가 있다.

그 중 X2, X3을 놓는 경우는 위와 같이 무승부가 확정된다.

X1 -> Y5 -> X3 -> Y2 -> X8 -> Y4 (6) -> X6 (4) -> Y7 (9) -> X9 (7)

X1 -> Y5 -> X2 -> Y3 -> X7 -> Y4 -> X6 -> X8 (9) -> Y9 (8)

따라서 X는 X6 혹은 X9를 놓아야 한다. 두 경우를 모두 살펴보자.

ㄱ) X6를 놓을 때: Y는 Y2, Y3, Y8, Y9 중 하나를 놓아야 한다.

(Y4, Y7을 놓으면 X가 X3을 놓고 L을 만들게 된다.)

Y2를 놓는 경우: Y2 -> X8. 위에 있는 그림 중 오른쪽과 같은 상황이 된다.

이제 Y가 Y3을 놓으면 X가 X7을 놓아 L을 만들어 이기고, Y가 Y4를 놓으면 X가 X9를 놓아 L을 만들어 이긴다. 따라서 Y는 Y7 또는 Y9를 둘 수밖에 없는데, 이때 가능한 상황은

X1 -> Y5 -> X6 -> Y2 -> X8 -> Y7 -> X3 -> Y9 -> X4

X1 -> Y5 -> X6 -> Y2 -> X8 -> Y9 -> X4 (7) ->　Y7 (4) -> X3

이므로 무승부가 생긴다.

Y3를 놓는 경우: Y3 -> X7 -> Y4. 아래 왼쪽과 같은 상황이 된다.

이제 이 상황에서 X가 2에 둘 리 없으므로, X8 (9) -> Y9 (8) -> X2가 되어 이 역시 무승부가 된다.

Y8에 놓는 경우: Y8 -> X2 -> Y3 -> X7 -> Y4 -> X9로 무승부.

Y9에 놓는 경우: X2, X3, X7, X8에 놓는 경우의 수가 존재하는데, 모두 따져 보자. (X4에 놓으면 Y가 Y7에 놓은 뒤 L을 만든다.)

X1 -> Y5 -> X6 -> Y9 -> X2 -> Y3 -> X7 -> Y4 -> X8 무승부.

X1 -> Y5 -> X6 -> Y9 -> X3 -> Y2 -> X8 -> Y4 (7) -> X7 (4) 무승부.

X1 -> Y5 -> X6 -> Y9 -> X7 -> Y4 -> X2 (3) -> Y3 (2) -> X8 무승부.

X1 -> Y5 -> X6 -> Y9 -> X8 -> Y2(3, 7, 8) -> X4/7(4/7,2/3,2/3) -> Y(7/4,3/2,3/2) ->　X3(2, 8, 7) 무승부.

따라서 X6을 놓을 때 이길 수 있는 확률은 [eqn: {1} over {3}]이다. (Y4 또는 Y7을 놓을 때)

ㄴ) X9를 놓을 때

위와 같은 상황이 된다. 여기서 Y3 (7) -> X7 (3)으로 X가 L을 만들 수 있다. 따라서 Y는 2, 4 6, 8에 놓을 수 있고, 이는 모두 대칭인 위치이므로 Y2만 고려하자.

X1 -> Y5 -> X9 -> Y2 -> X8 -> Y7 -> X3 -> Y6 -> X4 무승부.

이때 X가 이길 확률은 [eqn: {1} over {3}]이다. (Y3 또는 Y7)

따라서 X1로 시작하면 Y는 무조건 Y5로 맞대응하고, 그다음에 X가 X6 또는 X9를 둔다면 X가 이길 확률은 [eqn: {1} over {3}]이며, X가 질 일은 없다.

2) X2로 시작할 때

X2로 시작할 때 X가 이길 수 없음을 보이자.

X2->Y5-> X1 -> Y3 -> X7 -> Y4 -> X6 -> Y8(9) -> X9(8) 무승부.

X2->Y5-> X4 -> Y3 -> X7 -> Y1 -> X9 -> Y8 -> X6 무승부.

X2->Y5-> X7 -> Y6 -> X4 -> Y1 -> X9 -> Y8 -> X3 무승부.

X2->Y5-> X8 -> Y1 -> X9 -> Y7 -> L 생성, X 패배.

따라서 X2로 시작하면 X는 이길 수 없다.

3) X5로 시작할 때

X5로 시작할 때 X가 이길 수 없음을 보이다.

X5 -> Y1 -> X2 -> Y8 -> X3 -> Y7 -> X4 -> Y6 -> X9 무승부.

X4 -> Y6 -> X3(7)->Y7(3)->X9 무승부.

X6 -> Y4 -> X7 -> Y3 -> X9 무승부.

X7 -> Y3 -> X4(6)->Y6(4)->X9 무승부.

X9 -> Y4 -> X7 -> Y3 -> X6 무승부.

X5 -> Y1 -> X3 -> Y7 -> X4 -> Y6 -> X2(8)->Y8(2)->X9 무승부.

X5 -> Y1 -> X6 -> Y4 -> X7 -> Y3 -> X2 -> Y8 -> X9 무승부.

X5 -> Y1 -> X9 -> Y3 -> X2 -> Y8 -> X4(6)->Y6(4)->X7 무승부.

따라서 X5로 시작하면 X는 이길 수 없다.

따라서 양쪽 다 최선의 수로 둔다고 가정하였을 때 나올 수 있는 수들의 목록은 아래와 같다.

X1 -> Y5 -> X9 -> Y2 -> X8 -> Y7 -> X3 -> Y6 -> X4

X1 -> Y5 -> X6 -> Y2 -> X8 -> Y7 -> X3 -> Y9 -> X4

X1 -> Y5 -> X6 -> Y2 -> X8 -> Y9 -> X4 (7) ->　Y7 (4) -> X3

X1 -> Y5 -> X6 -> Y3 -> X7 -> Y4 -> X8 (9) -> Y9 (8) -> X2

X1 -> Y5 -> X6 -> Y8 -> X2 -> Y3 -> X7 -> Y4 -> X9

X1 -> Y5 -> X6 -> Y9 -> X2 -> Y3 -> X7 -> Y4 -> X8

X1 -> Y5 -> X6 -> Y9 -> X3 -> Y2 -> X8 -> Y4 (7) -> X7 (4)

X1 -> Y5 -> X6 -> Y9 -> X7 -> Y4 -> X2 (3) -> Y3 (2) -> X8

X1 -> Y5 -> X6 -> Y9 -> X8 -> Y2(3, 7, 8) -> X4/7(4/7,2/3,2/3) -> Y(7/4,3/2,3/2) ->　X3(2, 8, 7)