수학동아 - 폴리매스

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주니어 폴리매스 문제

수학 문제를 푸는 매력에 빠져 보세요!

[방승진 교수의 수학 퍼즐] 방8. 모호한 사각형

수학동아 2019.03.06 04:17 조회 3290

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주니어 폴리매스를 시작하면서 아주대 수학과 방승진 교수님은 다음과 같은 조언을 해주셨습니다. 앞으로 교수님의 의견에 따라 문제를 풀어 보세요!

요즘 수학 문제는 일회용 물수건처럼 쓰고 버리는 것이라는 인상을 지울 수 없습니다. 학생들은 셀 수 없을 정도로 많은 수학 문제를 풀고 또 풀지만 수학 실력은 늘어나지 않습니다. 왜 일까요? 머리가 나빠서 일까요? 연구에 따르면 학생들은 누구나 잠재력이 있다고 합니다. 수학도 마찬가지 아닐까요?

제 경험에 의하면 수학 문제를 마치 껌 씹듯이 생각에 생각을 거듭하면 다양한 생각을 하게 되고 어느 덧 그 수학 문제는 영원히 잊지 않을 정도로 친숙하게 됩니다. 좀 더 정확하게 "어떤 문제를 푸는가도 중요하지만 문제를 어떻게 푸는가?" 가 더 중요합니다. 결국 문제를 풀고 난 뒤에 '어떤 창의적인 산출물을 만들었는가?' 가 중요합니다.

앞으로 게재하는 문제들은 주로 다양하게 생각하도록 유도하는 문제 즉, 개방형 문제(open-ended problem)로서 여러분들이 좀 더 창의적인 태도를 가질 수 있도록 안내할 겁니다.

모든 문제는 주어진 질문에 국한하지 말고 될 수 있는 한 일반화 시키고, 남들과는 다르게 생각하려고 노력해야 좋습니다. 수학 논문을 쓰면 더욱 좋습니다.

문제

아래 그림에서 $\large \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}$ 고 $\large \angle ABC=108^{\circ}, \angle BCD=168^{\circ}$ 일 때, $\large \angle CDA$ 의 값은?

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우와 Lv.5 2019.03.06 04:56

30도 맞나요?

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김우현 기자 Lv.5 2019.03.07 01:27

'방승진 교수의 수학 퍼즐'은 답을 구하는 데 그치지 말고 문제를 변형하거나 확장해보세요.

문제를 통해 새로운 수학 연구 주제를 찾는다는 마음으로 접근하면 좋을 거예요!

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- 우와 Lv.5 2019.03.07 06:41
  
  앗! 알겠습니다.
  
  조언 감사드려요~
  
  혹시 여기서 확장은 어떻게 시켜야 하나요?
  
  그리고 답은 맞았나요?
  
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- 디듀우 Lv.7 2019.03.07 07:50
  
  각 ABC를 a도, BCD를 b라고 하고 풀어보면 어떨까요?
  
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- 유클이드 Lv.1 2019.03.08 17:21
  
  조언 감사드려요.
  
  문제에 많은 도움이 된 듯 하네요
  
  좋아요0
- 사고력 Lv.5 2022.08.31 06:49 비밀댓글
  
  비밀 댓글이 등록 되었습니다!
유클이드 Lv.1 2019.03.08 17:20

30도 맞는 것 같아요. 삼각형ABC랑 삼각형CBD가 이등변삼각형이므로, 각BAC는 36도가 되죠. 그렇게 맞꼭지각으로 인해 각DAO(대각선BD와 대각선AC의 접점을 O라한다.)가 36/2 = 18도가 됩니다. 각DAO+각ODA의 크기의 합이 42도 이므로 각ODA의 크기는 42-18 = 24도가 됩니다.그렇기에 각CDA는 24+6 = 30도 입니다.(6은 이등변 삼각형BCD의 한각이므로 각CDB입니다.)

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- code Lv.5 2019.03.09 18:15
  
  '그렇게 맞꼭지각으로 인해 각DAO' 라는 부분이 상당히 이상하군요.
  
  일단 설명 자체에서 각 DAO의 맞꼭지각은 존재하지 않구요,
  
  설상 선분 BA, CA, DA를 연장했다하더라도,
  
  각 BAC의 맞꼭지각이 36도일뿐,
  
  각 DAO의 맞꼭지각에 대한 값은 주어지지조차 않습니다.
  
  설명이 더 필요할 듯 합니다.
  
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code Lv.5 2019.03.09 18:07

선분 AB와 BC를 두변으로 하는 정오각형을 그립니다.

선분 AD에 대하여 점C에 대칭인 점을 C^'이라 하고,

선분 C'D를 그립니다.

이렇게 되면 위의 사각형 ABCD와 사각형 AB'C'D가 합동이 됩니다.

각 CDC'이 60이므로 답은 30도 입니다.

(앞으로 순수기하 문제 더 많이 내주세요!)

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- code Lv.5 2019.03.23 08:07
  
  정6각형이나 정7각형 등으로서 문제 변형도 가능 할 것같네요
  
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우와 Lv.5 2019.04.02 05:17

4월 문제 언제 나오나요?

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아루키데메스 Lv.5 2019.09.28 08:43

확인요청중

아래쪽에 똑같은 모양을 1개 더 뒤집어서 붙이면 정오각형과 정삼각형을 합친 모형이 됩니다.

그러므로 구해야 하는 각도는 60을 2로 나눈 30도네요.

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집고양이 Lv.8 2019.10.21 00:44 비밀댓글

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비밀 댓글이 등록 되었습니다.

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Nelli Lv.3 2019.12.14 05:48

확인요청중

각 ABC = 108

각 BCD = 168

이므로

선 AB를 길게 늘려 각 ABC와의 합이 180도가 되는 각의 크기를 구하면 72도입니다.

이때, 점 C를 지나는 AD와 평행한 선을 그어 계산해보면

각BAD의 크기는 60도가 되는 것을 알 수 있습니다. (설명하기 어려워 생략했습니다.)

따라서 각 CDA의 크기는 360 - (168 + 108 + 60)

= 24(도)

가 되는 것을 알 수 있습니다.

답이 맞는지 확인 부탁드립니다.

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김우현 기자 Lv.5 2019.12.20 23:59

'방승진 교수의 수학 퍼즐' 문제는 현재 연재가 종료돼 출제자에게 풀이 검토를 받을 수 없습니다.

풀이를 공개 댓글로 올려 친구들과 토론해보세요!

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- 피타고라수 Lv.4 2020.02.08 23:55
  
  공개로 올립시다.
  
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mathwizard Lv.7 2020.01.02 08:45

LCDA는 D의 각도를 얘기하는 건가요?

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- 자동적 Lv.1 2021.01.31 10:00
  
  맞아요
  
  좋아요0
자동적 Lv.1 2021.01.31 10:02

두 대각선을 이은 뒤, 이 교점을 정의해 풀면 답이 나오네요

정답은 30도가 맞겠군요

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자몽이 Lv.6 2021.02.17 20:59

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30도네요

풀이 사진 올려야 하나요?

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