안녕하세요. 주니어폴리매스 멘토입니다!

좋은 추측입니다. 어떻게 그런 추측을 하셨는지, 혹은 나아가 정말 맞는 답일 지 그 이유를 적어주신다면 다른 분들과의 생산적인 논의에 더욱 도움이 될 것이라 생각합니다!

감사합니다!

code님 안녕하세요!
주니어폴리매스 멘토입니다.

빛의 경로가 정n각형을 자연스럽게 그리는 경우에 대한 답변을 적어주셨습니다.

적어주신 부분 중 "경로의 교점을 점으로 해서 잇든 간"에 해당하는 부분을 좀 더 자세히 적어주시면 좋을 것 같다는 생각이 듭니다!

또, 과연 그러한 경우만 존재할 지 생각해보시기를 추천합니다.

매번 적극적인 참여 감사합니다!

이게 제 생각입니다.

빛의 반사의 원리에 따라 같은 각도로 반사되기에,

안의 빨간색도형은 정n각형이라 생각합니다.(이등변삼각형으로서 서로 합동인 것으로 보이는데, 증명을 시도해보도록 하겠습니다.)

다른 경우도 생각해보아야겠네요.

code님 안녕하세요!
주니어폴리매스 멘토입니다.

2번도 1번과 마찬가지로 더 일반적인 경우를 함께 포괄할 수 있는 답안을 생각하시면 맞는 공식을 얻어내실 수 있을 것입니다!

엡실론-델타님 안녕하세요. 주니어폴리매스 멘토입니다!

1번에 대해 경로가 전체를 회전하는 것까지 포함하여 좋은 설명을 해주셨는데요.
그렇다면 여기서 90(1-2m/n)이라는 조건은 어떻게 더 정리해서 쓸 수 있을지 생각해보시면 좋을 것 같습니다!

2번문제는 해당 방법으로 좀 더 나아가면 충분히 푸실 수 있을 것이라 생각합니다!

감사합니다!

P.S. 인상적인 닉네임이네요 :D

1번 문제에서 m과 n에 적당한 자연수를 대입한다면 모든 유리수의 각도를 가진 a각을 만들 수 있지 않나요?

1-양수니까 1보다는 작지 않을까요?

1-양수니까 1보다는 작지 않을까요?

안녕하세요! 주니어폴리매스 멘토입니다.

위의 '얼토메석궁'님과 '디듀우'님께서 달아주신 답글처럼 1보다 작은 유리수를 모두 표현할 수 있겠죠?
실제로 앞에 90도가 곱해져 있고, 처음 문제의 그림에서 각 a가 90도보다 작은 각도 (예각)이라는 것은 쉽게 파악할 수 있기 때문에 올바르게 정리한 답변이 되겠습니다!

감사합니다!

일단 2바퀴 이상 돌아서 돌아올 때는 회전한 횟수라는 m의 정의가 모호해서 한 광선이 다른 광선들과 만나서 생기는 교점의 수/2로 정의하는 것이 좋을 듯 합니다.

위와 같이 정의해도 똑같이 가 필요조건을 나타내는 식이라 생각됩니다.(아래의 글은 이 식이 필요충분조건임을 전재로 하고 적겠습니다.).m 과 n이 서로소가 아니어도 결국 어떠한 기약분수 로 약분이 가능하고 이 두 분수의 값은 같으니 발사하는 각a는 같다는 것을 알 수 있습니다. 그러므로 서로소가 아닌 경우에는 단순히 A점으로 돌아오는 경로를 여러 번 도는 것이니 도형의 변들이 만나서 생기는 교점의 개수는 변화가 없습니다. 그러므로 m과 n이 서로소인 경우 즉 를 만족하는 경우만 구하면 된다는 것을 알 수 있습니다. 이 도형에서의 교점의 수는 한 광선이 다른 광선들과 만나는 교점의 수*광선의 수/2를 만족하는데 이는 한 교점에서는 2개의 선이 만나기 때문에 그럽니다. 그 이유는 다른 선이 이 점을 지나간다면 이 선과 다른 선이므로 반사각이 다르게 되는데 이는 입삭가과 반사각이 항상 a도라는 것을 위배하게 되므로 불가능하다는 것입니다. m의 정의가 한 광선이 다른 광선들과 만나서 생기는 교점의 수/2이고 n이 반사된 광선의 수이니 자연스럽게 도형에서의 교점의 수는  즉 가 됨을 알 수 있습니다. 결국 1번 문제를 좀 더 엄밀하게(?)해야 되겠습니다ㅠㅠ.

P.S.인상적인 닉네임이라니. 감사합니다! 

-앞에서 했던 것들의 부족한 점 보완합니다.

아직 A점으로 되돌아오지 못했다고 가정한다면 이미 지났던 점이 아닌 다른 점에서 반사가 되어야 합니다. 또 이 반사광선들의 중심각이 모두 같음으로 이 광선들의 길이가 모두 같음을 알 수 있습니다. 그러므로 이 그림과 같은 경우가 불가능 하게 됩니다.

 다시 돌아왔을 때 즉 삼각형들을 모았을 때 중심이 360도가 되었을 때 교점이 2개씩 늘어나게 되므로 m의 정의를 위와 같이 바꾸어도 됩니다. 또 앞에서 구한 각도의 조건이 애초에 A점으로 다시 돌아왔을 때를 기준으로 구하였습니다. (선분과 원의 중심으로 이루어진 삼각형을 생각해서 관계를 구했는데 -360m이라는 부분이 다시 A점으로 다시 돌아올 때만 성립한다.) 다시 보니 세 선이 한 점에서 만나는 경우가 없다는 부분에 대한 증명이 부족한 것 같네요. 제 생각에는 이 부분만 좀 해결하면 될 것 같습니다. 그리고 혹시 90(1-2m/n)이라는 조건에서 좀 더 정리하라는 것이 식을 간단하게 만들라는 것인지 아니면 어떤 의미인지 알려주실 수 있나요? 저 식 자체는 더이상 정리하기가 힘든 것 같아서요. 또 2번 문제에서 도형의 변들이 만나서 생기는 교점을 구하라고 하셨는데 그 교점에 도형이 원과 접하는 부분도 포함되나요?

*세 광선 이상이 한 점에서 만나는 경우가 없다는 증명 추가합니다.

광선들의 길이가 모두 같고 중심각도 모두 같습니다. 원의 중심과 광선의 중점 광선이 반사되는 점으로 이루어지는 삼각형은 모두(ASA)합동입니다.(이등분삼각형의 수직이등분선은 각을 이등분합니다.) 그러므로 광선의 수직이등분선의 길이는 모두 같음을 알 수 있습니다. 수직이등분선을 반지름으로 하고 거울의 중심을 중심으로 하는 원을 그리면 각각의 광선은 아래 그림처럼 원의 접선이 됩니다.(원에서 광선에 수직으로 내린 선이 광선과의 최단거리이므로 원과 광선은 한 점에서만 접합니다.)

원 외부의 임의의 한 점에서 원과의 접선은 2개만 그을 수 있으므로 한 점에서 세 광선 이상이 만나는 것은 불가능합니다.

얼토메석궁님 안녕하세요! 주니어폴리매스 멘토입니다.

아주 날카로운 질문을 해주셨는데요! 제가 대답을 바로 해드린다면 1번에 대한 간접적인 힌트가 될 것 같아 지금은 말씀드리기 어렵습니다ㅠㅠ
(이 사실을 알고 물어보신 것 같군요!)

감사합니다!

아, 단 m<n이어야겠네요..