폴리매스

(옛날에 올렸지만 너무 오래되서 다시 올립니다. - 제 문제에 댓글 올렸는데 확인 안 된 사람은 알려주세요.)

평면 위에 어떤 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 n개의 점이 있다. 이 점을 각각 선분으로 이은 완전그래프를 생각하자. 이 그래프에 존재하는 회로 중 모든 변의 길이가 a로 같으며, 회로를 이루는 두 개의 점을 양 끝으로 하는 회로의 일부분이 아니고 회로가 만드는 영역 안에 경로의 모든 점이 포함되어 있는 경로가 모두 길이 a인 선분으로 되지 않는 회로를 ‘아름다운 회로’라고 하자.(그 경로에 길이 a인 선분이 있어도 같은 경로에 a가 아닌 길이를 갖는 선분이 존재하면 아름다운 회로이다.) 예를 들어,

위와 같은 그림에서 회로 ABCD는 모든 변의 길이가 같지만, 그 변의 길이와 같은 선분으로 된 DEC의 경로가 존재하므로 아름다운 회로가 아니다. 위 그림에서 아름다운 회로는 ACEDB, DEC 두 개다.

이 때, 아름다운 회로가 (n-1)개가 되도록 할 수 있는가?

가능하다면 실례를 찾고, 불가능하다면 불가능하다는 것을 증명하여라.

(단, 길이 a는 표현상의 편의를 위해 둔 것이다. 모든 아름다운 회로의 길이가 a일 필요는 없다.)