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창의력을 기를 수 있는 수학 문제 또는 퍼즐을 내는 곳입니다.
연속하는 n개의 자연수의 합이 n^2이 되는 n을 모두 구하여라
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수열의 합을 이용해 증명해봤습니다. 수열 {an}을 a, a+1, a+2, a+3, ... ,a+n-1 로 놓으면 a부터 a+n-1까지 총 n개의 연속하는 자연수들의 수열이 만들어집니다.
이 수열에서 초항부터 n항까지의 합 Sn을 일반화해보면 Sn=n{2a+n-1}/2 이며 Sn=n^2의 식을 만족시키는 n을 구하면 됩니다.
-> n{2a+n-1}/2=n^2, 이때 n은 2이상의 자연수 이므로(연속하는 n개의 자연수) 양변을 n으로 나누고 2를 곱한 후
a에 대한 n함수로 정리해보면 n=2a-1와 같은 식 만들어집니다. (이때 n이 2 이상이므로 a또한 2이상이 되네요)
즉, n은 두 집합 X { x | x는 2이상의 자연수}, Y { y | y는 2 이상의 자연수} 에 대하여 X에서 Y로의 함수 f(x) = 2x-1 의 치역이라고 말할 수 있겠네요 ㅎㅎ
직접 n값을 구해보면 n은 3이상의 홀수가 되요 ^^
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