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Line: 315
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Line: 585
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File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/controllers/ver3/Contents.php
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아인수타인
2019.12.11 10:49
조회 998
어떤 함수 
는 
를 만족한다. 이것을 만족하는 건 로그함수밖에 없는가? 아니면 어떤 복잡한 모양이라도 다른 함수가 있는가?
(출제자도 답 모름)
-
네, 로그함수 밖에 없습니다
g(x) = f( e^x ) 이라고 가정합시다.
그럼 g( x+y ) = f( e^( x+1 ) ) = f( e^x * e^y) = f(e^x) + f(e^y) = g(x) + g(y);
f(x)가 continuous 하니까 g(x) 도 continuous 합니다.
그렇다면 g(x)는 항상 g(x) = cx 으로 표연할 수 있습니다 (Cauchy's functional equation을 보시면 됩니다).
따라서 ln (x) 및 상수 배수는 원하는 종류의 유일한 예입니다.
그래서 로그함수만 됩니다. (ln x 에서 아무 base로 바꿀 수 있기 때문에 맞습니다)
-
아인수타인
Lv.12
2019.12.12 00:30
음... 저도 답을 모르는 문제라 저도 이해가 잘 안되네요... 간략하게 설명 가능한가요?
좋아요0
-
사실 모든 실수 a,b에 대해 식이 성립해야 한다면, 만족하는 함수는 없습니다.
lnx의 정의역은 양의 실수이기 때문이죠.
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