어떤 집합 S의 임의의 원소 a, b에 대해 모든 (a, b)순서쌍의 집합을 정의역으로 갖는 함수를 이항연산이라고 합니다. 집합은 포함의 기준이 명확한 모임을 뜻하고, 거기에 포함된 것들이 원소입니다. 어떤 함수의 정의역은, 그 함수의 입력값으로써 쓸 수 있는 것들의 집합을 뜻합니다. 즉, 어떤 모임에서 정의된 이항연산은 그 모임에 속하는 것들 두 개의 순서쌍에 따라 다른 것 하나만을 의미하게 하는 덧셈, 곱셈과 같은 것을 의미합니다.
이항연산이 가질 수 있는 성질은 몇 가지가 있습니다. 우선 교환법칙에 대해 살펴볼 텐데요, 이항연산에 넣는 두 값의 순서를 바꾸어도 결과가 같으면 교환법칙이 성립합니다. 예시로는 덧세, 곱셈이 있습니다. 그리고 결합법칙은 세 값을 연달아 연산할 때 앞의 두 값부터 연산하든, 뒤의 두 값부터 연산하든 결과가 같으면 성립합니다. 그리고 결합법칙은 어떤 두 연산에 대한 성질인데요, 어떤 두 값에 대한 연산을 한 뒤 그 결과에 한 값과 다른 연산을 한 결과가 나중의 한 값에 처음의 두 값을 각각 두 번쨰 연산한 뒤 그 두 값을 다시 첫 번쨰 연산한 결과가 같으면 성립합니다.
이런 이항연산에서 중요한 값들 몇 가지가 있습니다. 첫째는 항등원인데요, 어떤 연산의 정의된 집합의 모든 원소에 대해 항등원을 연산한 결과는 항상 그 원소가 나옵니다. 항등원이 앞에 오든, 뒤에 오든 둘 다 그 원소가 나와야 하므로 먼저 교환법칙이 성립해야 합니다. 덧셈에서의 0이 좋은 예이지요. 둘째는 역원으로, 어떤 값에 역원을 연산하면 그 연산의 항등원이 됩니다. 먼저 항등원이 있어야겠죠. 0을 제외한 실수의 곱셈에서의 역수 같은 역할입니다.
저는 이 문제에서 세 번째 값들을 정의하려 합니다. 바로 수렴원과 수렴입니다. 집합 S에서 정의된 이항연산 *이 있고, 교환법칙이 성립할 때, S의 모든 원소 a에 대해 a*c=c'인 c를 수렴원, c'를 c에 대한 수렴으로 정의합니다. 즉, 어떤 연산이 정의된 모든 값과 어떤 값을 연산한 결과가 항상 같으면 어떤 값을 수렴원, 같은 그 결과를 수렴원에 대한 수렴이라 하겠습니다. 예시로는 곱셈에서의 0이 있겠죠. 사실 수렴원과 그에 대한 수렴이 동일한 특수한 경우입니다.
이제 문제 나갑니다. (a) 집합 S에서 정의된 이항연산 *에 대해 항등원과 수렴원이 모두 존재할 수 있을까요? (b) *의 서로 다른 수렴이 여러 개 존재할 수 있을까요? 지금까지 잘 이해해 오셨다면, 사실 쉬운 문제라는 걸 깨달으셨을 겁니다. 그런데 제가 봐도 이해는 어렵네요. 인터넷도 찾아보시면 좋고요, 책은 에미 뇌터가 들려주는 이항연산 이야기가 좋습니다. 제목에 양배추는 별 의미 없어요. 그냥 넣고 싶었어요. 어쨌든 언급은 했잖아요?
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