본문바로가기
함께 풀고 싶은 문제
창의력을 기를 수 있는 수학 문제 또는 퍼즐을 내는 곳입니다.
[창의 퍼즐] 곱셈, 덧셈, 양배추
디듀우 2019.12.07 18:55 조회 758

 어떤 집합 S의 임의의 원소 a, b에 대해 모든 (a, b)순서쌍의 집합을 정의역으로 갖는 함수를 이항연산이라고 합니다. 집합은 포함의 기준이 명확한 모임을 뜻하고, 거기에 포함된 것들이 원소입니다. 어떤 함수의 정의역은, 그 함수의 입력값으로써 쓸 수 있는 것들의 집합을 뜻합니다. 즉, 어떤 모임에서 정의된 이항연산은 그 모임에 속하는 것들 두 개의 순서쌍에 따라 다른 것 하나만을 의미하게 하는 덧셈, 곱셈과 같은 것을 의미합니다.

 이항연산이 가질 수 있는 성질은 몇 가지가 있습니다. 우선 교환법칙에 대해 살펴볼 텐데요, 이항연산에 넣는 두 값의 순서를 바꾸어도 결과가 같으면 교환법칙이 성립합니다. 예시로는 덧세, 곱셈이 있습니다. 그리고 결합법칙은 세 값을 연달아 연산할 때 앞의 두 값부터 연산하든, 뒤의 두 값부터 연산하든 결과가 같으면 성립합니다. 그리고 결합법칙은 어떤 두 연산에 대한 성질인데요, 어떤 두 값에 대한 연산을 한 뒤 그 결과에 한 값과 다른 연산을 한 결과가 나중의 한 값에 처음의 두 값을 각각 두 번쨰 연산한 뒤 그 두 값을 다시 첫 번쨰 연산한 결과가 같으면 성립합니다.

 이런 이항연산에서 중요한 값들 몇 가지가 있습니다. 첫째는 항등원인데요, 어떤 연산의 정의된 집합의 모든 원소에 대해 항등원을 연산한 결과는 항상 그 원소가 나옵니다. 항등원이 앞에 오든, 뒤에 오든 둘 다 그 원소가 나와야 하므로 먼저 교환법칙이 성립해야 합니다. 덧셈에서의 0이 좋은 예이지요. 둘째는 역원으로, 어떤 값에 역원을 연산하면 그 연산의 항등원이 됩니다. 먼저 항등원이 있어야겠죠. 0을 제외한 실수의 곱셈에서의 역수 같은 역할입니다.

 저는 이 문제에서 세 번째 값들을 정의하려 합니다. 바로 수렴원과 수렴입니다. 집합 S에서 정의된 이항연산 *이 있고, 교환법칙이 성립할 때, S의 모든 원소 a에 대해 a*c=c'인 c를 수렴원, c'를 c에 대한 수렴으로 정의합니다. 즉, 어떤 연산이 정의된 모든 값과 어떤 값을 연산한 결과가 항상 같으면 어떤 값을 수렴원, 같은 그 결과를 수렴원에 대한 수렴이라 하겠습니다. 예시로는 곱셈에서의 0이 있겠죠. 사실 수렴원과 그에 대한 수렴이 동일한 특수한 경우입니다.

 이제 문제 나갑니다. (a) 집합 S에서 정의된 이항연산 *에 대해 항등원과 수렴원이 모두 존재할 수 있을까요? (b) *의 서로 다른 수렴이 여러 개 존재할 수 있을까요? 지금까지 잘 이해해 오셨다면, 사실 쉬운 문제라는 걸 깨달으셨을 겁니다. 그런데 제가 봐도 이해는 어렵네요. 인터넷도 찾아보시면 좋고요, 책은 에미 뇌터가 들려주는 이항연산 이야기가 좋습니다. 제목에 양배추는 별 의미 없어요. 그냥 넣고 싶었어요. 어쨌든 언급은 했잖아요?

 

이 문제 어떠셨나요?

글쎄요

0

어려워요

0

  • 폴리매스 문제는 과학기술진흥기금 및 복권기금의 재원으로 운영되고, 과학기술정보통신부와 한국과학창의재단의 지원을 받아 수행된 성과물로 우리나라의 과학기술 발전과 사회적 가치 증진에 기여하고 있습니다.

  • ☎문의 02-6749-3911