폴리매스

수동이와 지현이가 당구를 한다. 포켓볼도 쓰리터치도 아닌 요상한 당구를 하자고 제안안 지현이는 아래와 같은 당구대와 당구공을 가져왔다.

1. 마찰이 없다. 당구공에는 그 어떠한 힘도 작용하지 않는다. 당구대는 정지해 있다. (지현이는 지구의 자전을 멈추게 만들었다!)

2. 당구공은 점이다.

3. 당구대는 가로 a, 세로 b의 직사각형 모양이다. (가로가 세로보다 길다.)

4. 당구공이 당구대의 모서리와 부딪치면 당구공이 다가올 때 궤적과 모서리 사이의 각은 떠나갈 때 궤적과 모서리 사이의 각과 같다. 당구공의 속력도 일정하다.

5. 당구공은 큐대로 어떻게 치든 0~360도 사이의 무작위 방향으로 일정한 속도로 출발한다. 가속은 순식간에 이루어진다.

지현이는 당구공을 당구대의 두 대각선의 교점에 놓고 큐대로 쳐서 유한 시간 안에 당구공이 당구대 꼭짓점의 구멍에 들어가면 수동이가 이긴 거라고 했다.

(a) 당구공의 처음 위치를 지나면서 당구대의 가로 변과 평행한 선이 당구공이 처음 출발할 때 궤적의 방향과 시계방향으로 θ의 각을 이루었다. 몇 번 충돌한 후에 당구공은 구멍에 들어가는가?

(b) 수동이가 이길 확률은 얼마인가?

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