수학자가 남긴 문제에 챗GPT가 뭐라고 답했는지 살펴보세요.
챗GPT가 말한 답과 풀이가 맞았는지, 틀렸는지 그리고 틀렸다면 어떤 게 틀렸는지 댓글에 남겨주세요~!
문제1-1. 다음의 수학문제를 풀어주세요. 방안에 7명의 사람이 모여있습니다. 이 사람들 중 각 두명은, 서로 알거나 혹은 서로 모르거나 두 가지 경우 중 하나입니다. 그렇다면, 서로 모두 아는 세명이 항상 있거나, 서로 모두 모르는 세명이 항상 있을까요? 그렇다면 증명하고, 아니라면 반례를 제시해주세요.
ChatGPT
이 문제는 그래프 이론에서 유명한 램지 이론(Ramsey Theory)과 관련이 있습니다. 주어진 상황을 분석하기 위해 그래프로 표현할 수 있습니다. 각 사람을 정점으로 나타내고, 두 사람이 서로 아는 경우에는 간선을 그립니다. 그럼 이 문제는 다음과 같은 질문이 됩니다: 크기가 7인 그래프에서 항상 크기가 3인 완전 그래프(서로 아는 사람) 또는 크기가 3인 빈 그래프(서로 모르는 사람)가 존재하는가?
증명: 먼저 임의의 정점 A를 선택하십시오. A와 연결된 간선의 수는 총 6개입니다. 이때, A와 연결된 간선들은 두 종류로 나뉩니다: A가 다른 정점과 아는 경우(빨간색 간선)와 A가 다른 정점과 모르는 경우(파란색 간선).
A와 연결된 간선 중 빨간색이나 파란색의 간선이 최소 3개 이상이어야 합니다. (그렇지 않으면 총 간선의 수가 6개가 되지 않음)
빨간색 간선이 3개 이상인 경우, 이 세 정점이 모두 서로 아는 경우 크기가 3인 완전 그래프가 됩니다. 만약 이 세 정점 중 어느 두 정점이 서로 모르는 경우(파란색 간선이 있는 경우), A와 이 두 정점은 서로 모르는 관계이므로 크기가 3인 빈 그래프가 됩니다.
파란색 간선이 3개 이상인 경우도 비슷한 방식으로 분석할 수 있습니다. 이 경우에는 세 정점이 모두 서로 모르는 경우 크기가 3인 빈 그래프가 되고, 이 세 정점 중 어느 두 정점이 서로 아는 경우(빨간색 간선이 있는 경우), A와 이 두 정점은 서로 아는 관계이므로 크기가 3인 완전 그래프가 됩니다.
따라서 이 방안에서 서로 모두 아는 세 명이 항상 존재하거나, 서로 모두 모르는 세 명이 항상 존재합니다.
문제 1-2. 그렇다면 서로 아는 네명이나 서로 모르는 네명을 찾으려면 어떨까요? 찾을 수 있나요? 만약 안된다면 7명 대신 몇 명이 방안에 있으면 가능할까요?
ChatGPT
서로 아는 네 명이나 서로 모르는 네 명을 찾으려면 더 많은 사람이 필요합니다. 이 문제도 람지 이론을 적용하여 해결할 수 있습니다. 여기서 관심 있는 것은 R(4,4) 값입니다. R(4,4)는 최소의 정점 수를 나타내는데, 이 정점 수를 가진 그래프는 항상 크기가 4인 완전 그래프(서로 아는 4명) 또는 크기가 4인 빈 그래프(서로 모르는 4명)를 포함하게 됩니다.
램지 이론에 따르면 R(4,4) = R(3,4) + R(4,3) - 1입니다. 이미 R(3,3) = 6임을 알고 있으므로, R(3,4)와 R(4,3)를 구해야 합니다.
R(3,4)를 구하기 위해서는 3명이 서로 아는 경우와 4명이 서로 모르는 경우를 고려해야 합니다. 최소 5명이 있으면 이 조건을 만족시킬 수 있습니다. 그 이유는 한 사람과 연결된 간선 중 최소 3개 이상이 빨간색이거나 파란색이어야 하기 때문입니다. 만약 빨간색 간선이 3개 이상이라면 서로 아는 3명을 찾을 수 있고, 파란색 간선이 3개 이상이라면 서로 모르는 4명을 찾을 수 있습니다. 따라서 R(3,4) = R(4,3) = 5입니다.
이제 R(4,4) 값을 구할 수 있습니다.
R(4,4) = R(3,4) + R(4,3) - 1 = 5 + 5 - 1 = 9입니다.
따라서 최소 9명이 방안에 있어야 서로 모두 아는 네 명이나 서로 모두 모르는 네 명을 찾을 수 있습니다.
문제 2-1. 다음의 수학 문제를 풀어주세요. 방안에 7명의 사람이 모여있습니다. 이 사람들 중 일부가 서로 허그(HUG)를 했습니다. 모든 사람이 허그를 네번씩 했습니다. 이게 가능한가요? 가능하다면 실제 예를 들어서 가능함을 보이고 불가능하다면 불가능함을 증명해주세요.
ChatGPT
이 문제는 그래프 이론을 사용하여 쉽게 해결할 수 있습니다. 각 사람을 정점으로 나타내고, 두 사람이 허그한 경우 간선으로 연결합니다. 이 문제에서 각 정점의 차수(연결된 간선의 수)는 4입니다. 이 문제는 모든 정점의 차수가 4인 그래프가 존재하는지를 묻는 것입니다.
이 문제의 경우, 불가능함을 증명할 수 있습니다. 방법은 다음과 같습니다.
1. 그래프의 모든 정점의 차수의 합은 간선의 수의 두 배와 같습니다. 왜냐하면 각 간선은 두 개의 정점에 연결되어 있기 때문입니다.
2. 7명의 사람이 각각 4번의 허그를 한다면, 모든 정점의 차수의 합은 7 × 4 = 28이 됩니다.
3. 이 경우, 간선의 수는 28/2 = 14입니다.
4. 그러나 홀수 개의 정점이 모두 짝수 차수를 가지려면 간선의 수가 홀수여야 합니다. 이는 핸드셰이킹 정리(Handshaking Lemma)로 알려진 기본적인 그래프 이론 결과입니다.
5. 이 문제의 경우에는 간선의 수가 짝수이므로, 7명의 사람이 각각 4번의 허그를 하는 것은 불가능합니다.
결론적으로, 이 상황에서 각 사람이 4번씩 허그하는 것은 불가능합니다.
문제 2-2. 모든 사람이 허그를 세번씩 하면 어떨까요? 가능할까요? 허그를 네번씩 했을때와 세번씩 했을때의 차이가 뭔가요?
ChatGPT
모든 사람이 허그를 세 번씩 할 경우 가능한지 확인해 봅시다.
1. 7명의 사람이 각각 3번의 허그를 한다면, 모든 정점의 차수의 합은 7 × 3 = 21이 됩니다.
2. 이 경우, 간선의 수는 21/2 = 10.5입니다. 하지만 간선의 수는 정수여야 합니다. 따라서 이 경우도 불가능합니다.
허그를 네 번씩 했을 때와 세 번씩 했을 때의 차이는 간선의 수와 정점의 차수에 있습니다. 네 번씩 했을 때는 각 정점의 차수가 4이고, 간선의 수는 14입니다. 세 번씩 했을 때는 각 정점의 차수가 3이고, 간선의 수는 10.5입니다.
두 경우 모두 불가능한 이유는 다음과 같습니다.
- 네 번씩 했을 때는 7개의 홀수 개수의 정점이 모두 짝수 차수를 가지려면 간선의 수가 홀수여야 하는데, 여기서는 간선의 수가 짝수(14)입니다.
- 세 번씩 했을 때는 간선의 수가 정수여야 하는데, 여기서는 간선의 수가 정수가 아닌 10.5입니다.
따라서, 이 상황에서 각 사람이 허그를 세 번씩 하는 것도 불가능합니다.
문제3. 다음의 수학문제를 풀어주세요. N개의 주사위를 던졌습니다. 각각의 주사위는 독립적이고, 모든 눈이 나올 확률은 1/6로 같습니다. N개의 주사위를 던져서 나온 결과값을 모두 더했을 때 짝수가 나올 확률은 얼마인가요? 그 값이 올바르다는 것을 증명해주세요.
ChatGPT
N개의 주사위를 던져서 나온 결과값을 모두 더했을 때 짝수가 나올 확률을 구하려면, 각 주사위에서 나올 수 있는 홀수와 짝수의 개수를 고려해야 합니다. 각 주사위에는 홀수 눈 3개(1, 3, 5)와 짝수 눈 3개(2, 4, 6)가 있습니다. 따라서 각 주사위에서 홀수 눈이 나올 확률은 1/2이고, 짝수 눈이 나올 확률도 1/2입니다.
두 개의 주사위를 던졌을 때 짝수의 합이 나올 확률을 생각해 봅시다. 이 경우는 다음과 같습니다.
1. 첫 번째 주사위에서 홀수 눈이 나오고, 두 번째 주사위에서 홀수 눈이 나온 경우 (홀수 + 홀수 = 짝수)
2. 첫 번째 주사위에서 짝수 눈이 나오고, 두 번째 주사위에서 짝수 눈이 나온 경우 (짝수 + 짝수 = 짝수)
각각의 경우에서, 확률은 (1/2) * (1/2) = 1/4입니다. 두 경우를 합하면 짝수의 합이 나올 확률은 1/4 + 1/4 = 1/2입니다.
이 개념을 N개의 주사위로 확장할 수 있습니다. N개의 주사위에서 짝수의 합이 나올 확률은 각 주사위가 짝수 눈을 던질 확률과 홀수 눈을 던질 확률의 조합입니다. 이를 이항정리를 이용해 표현할 수 있습니다.
합이 짝수가 될 확률은 (1/2)^N * (홀수 개의 주사위에서 나온 짝수 눈의 개수 + 짝수 개의 주사위에서 나온 짝수 눈의 개수)입니다. 이때, 홀수 개의 주사위에서 나온 짝수 눈의 개수와 짝수 개의 주사위에서 나온 짝수 눈의 개수는 서로 독립적이므로 합의 확률은 각각의 확률의 곱입니다.
따라서 N개의 주사위를 던져서 나온 결과값을 모두 더했을 때 짝수가 나올 확률은 (1/2)^N 입니다. 이 값은 N이 어떤 값이든 항상 성립하는 것을 확인할 수 있습니다.
문제4. 다음의 수학문제를 풀어주세요. (N^5-5N^3+4N)/120 이 정수가 아니게 되는 정수 N이 존재하나요? 존재하면 그 정수 N을 찾고, 아니라면 모든 정수 N에 대해서 (N^5-5N^3+4N)/120 가 항상 정수가 된다는 것을 증명해주세요.
ChatGPT
(N^5 - 5N^3 + 4N) / 120 이 정수가 되려면, 120으로 나누어 떨어져야 합니다. 120의 소인수 분해를 하면 120 = 2^3 * 3 * 5입니다. 따라서 N^5 - 5N^3 + 4N이 2^3, 3, 그리고 5로 나누어 떨어져야 합니다.
먼저 2로 나누어 떨어지는지 확인해 봅시다. N이 짝수인 경우, N^5, -5N^3, 4N 모두 짝수입니다. N이 홀수인 경우, N^5와 -5N^3은 홀수이고, 4N은 짝수입니다. 홀수 - 홀수 + 짝수 = 짝수이므로 N^5 - 5N^3 + 4N은 항상 짝수입니다.
이제 3으로 나누어 떨어지는지 확인해 봅시다. N이 3의 배수가 아닌 경우, N^5, -5N^3, 4N은 모두 3의 배수가 아닙니다. 하지만 N이 3의 배수인 경우, N^5, -5N^3, 4N 모두 3의 배수입니다. 따라서 N^5 - 5N^3 + 4N은 항상 3의 배수입니다.
마지막으로 5로 나누어 떨어지는지 확인해 봅시다. N이 5의 배수가 아닌 경우, N^5, -5N^3, 4N은 모두 5의 배수가 아닙니다. 하지만 N이 5의 배수인 경우, N^5, -5N^3, 4N 모두 5의 배수입니다. 따라서 N^5 - 5N^3 + 4N은 항상 5의 배수입니다.
이제 N^5 - 5N^3 + 4N이 2^3, 3, 그리고 5로 항상 나누어 떨어진다는 것을 확인했습니다. 이것은 N^5 - 5N^3 + 4N이 120의 배수임을 의미하므로, (N^5 - 5N^3 + 4N) / 120은 항상 정수입니다. 따라서 (N^5-5N^3+4N)/120 이 정수가 아닌 정수 N은 존재하지 않습니다.
