(1) p|n!, p|(n+1)!은 거짓, p|(2n+1)!은 참이므로 (+위의 식은 _(2n+1)C_{n or n+1}이므로 정수이니) p|위 식이다.

(2) (1)에 따라 n+1<p<= 2n+1인 모든 소수들은 (2n+1)!/n!(n+1)!의 약수이므로 (n+1초과, 2n+1이하인 소수들의 곱) <= (2n+1)!/n!(n+1)!
= _(2n+1)C_{n or n+1} 이다. 또한 4^m=1/2 * >1/2(_2m+1C_m+_2m+1C_m+1)=_2m+1C_m+1이어서 (m-->n) 성립한다.

(3) 1, 2일때는 성립한다. 이제 n-1이하의 모든 자연수에 대하여 성립한다고 가정하면, (소수 곱하는 기호를 n*이라 하면)

(i) n=짝수 --> n* = (n-1)* <4^n-1<4ⁿ이므로 성립한다.

(ii) n=홀수 --> n=2m+1이라 하자. (2)에 따라 (2m+1)*/(m+1)*=(m+1초과, 2m+1(n)미만의 소수들의 곱)<4^m이다. 고로

n*=(2m+1)*=(2m+1)*/(m+1)* 곱하기(헷갈릴까봐) (m+1)* < 4^m * 4^m+1= 4^2m+1=4ⁿ 따라서 n인 경우에도 보조정리가 성립한다.

따라서 수학적 귀납법으로 성립한다.

문제1 (2n+1)!/(n+1)!은 (2n+1)(2n)(2n-1)...(n+2)(n+1)...1/(n+1)(n)(n-1)(n-2)...1(n)(n-1)(n-2)...1임을 알 수 있다.

여기서 약분을 한다면 (2n+1)(2n-1)(2n-3)(2n-5)...1인 1부터 2n+1까지에 홀수의 곱임을 알 수 있다.

 만약 소수 p가 2n+1과 같다면 값은 p(p-2)(p-4)(p-6)...1임을 알 수 있고 소수p의 배수 임을 알 수 있다.

 만약 소수 p가 2n+1보다 작다면 2를 제외한 모든 소수는 홀수임으로 2n-1,2n-3,2n-5...3 중 하나임을 알 수있다. 즉 p의 배수임을 알 수 있다.

p가 2인 경우n은 음수이거나 0이다 하지만 2n+1이 2보다 작음으로  p가 2인 경우 초기 조건을 만족하지 않음으로

정수 n과 소수 p에 대해 n+1<p<=2n+1을 만족하면 (2n+1)!/(n+1)!n!은 p의 배수임이 증명된다