폴리매스

피카파이 친구에게,

 

재미있는 문제네요! 게시글에 정확히 어떤 점이 궁금한지 설명해준다면 그에 맞는 더 좋은 답변을 들을 수 있을테니 다음에는 링크 뿐만이 아니라 정확히 무엇이 궁금한지도 같이 써주기를 부탁할게요.

 

이 문제는 잘 정의되지 않은 문제입니다. 예를 들어, 어떤 게임이 있어서 선수들의 실력이 잘 정렬(well-ordered)되어 있다고 해봅시다. 즉, 강한 선수와 약한 선수가 경기를 치른다면 항상 반전 없이 강한 선수가 이긴다고 생각하는 것입니다. A의 승률이 70%이고 B의 승률이 60%라는 것은 예를 들어 101명의 선수들이 있고 그 중 A는 31등, B는 41등이라고 생각해볼 수 있습니다. 이 게임에서는 A가 항상 B를 이길 것이고 따라서 A의 B에 대한 승률은 항상 100%이겠죠?

 

하지만 이러한 답변을 기대한 것이 아닐거에요. 챔피언을 이기는 반전 경기들은 많이 있으니까요.

 

따라서 이 문제를 풀기 위해서는 "게임"과 "승률"에 적절한 추가적인 조건을 부여해야 합니다. 이러한 과정을 "수학적 모델링"이라고 부르는데 오늘날 이러한 모델링은 다양한 곳에서 굉장히 큰 역할을 하고 있어요!

 

그러면 수학적 모델링을 해봅시다. 이러한 승률 분석 모델에서 가장 기초적이고 많이 쓰이는 모델은 Elo rating system입니다. 이 모델은 A와 B가 1:p의 확률로 이기고 B와 C가 1:q의 확률로 이긴다고 할 때, A와 C가 1:pq의 확률로 이긴다라는 기본 가정을 가지고 있는데요, "승률"을 레이팅 0의 사람을 대상으로 했을 때의 승률이라고 본다면 Elo rating system에 기초했을 때 A가 B를 이길 확률은 

이라 볼 수 있습니다.

 

정의 [시그모이드 함수]. 시그모이드 함수 는

입니다.

 

시그모이드 함수 관점에서 본다면 Elo rating system은 각 사람의 승률을 sigmoid 함수를 통해 레이팅으로 변환한 뒤 두 사람의 레이팅 차가 라면 승률은 라고 해석할 수 있습니다. 하지만 실제로는 시그모이드 함수가 맞지 않는다는 이야기가 있습니다. 바둑이나 체스와 같이 실수가 게임의 흐름에 크게 작용할 때 게임에서 발생하는 총 실수는 중심극한정리에 의해 대략적으로 정규분포를 이루고 따라서 승률-레이팅 변환이 오차 함수 (Error function)을 따른다는 모델이 있습니다. 오차 함수는 아래와 같이 정의됩니다.

 

정의 [오차 함수]. 오차 함수 는

입니다.

 

이 모델을 적용할 경우, A의 레이팅은 인 으로 변환되고, B의 레이팅은 인 로 변환됩니다. 계산해보면 이며 이를 이용해 승률로 다시 환산하면 

이 나옵니다.

 

이처럼 어떤 모델을 적용하느냐에 따라 답이 달라집니다. 본인이 생각하는 가장 이상적인 게임은 어떤 규칙을 따라야할지 생각해보고 그에 따른 승률을 계산해보세요!

 

다인 멘토 드림