라고 하면, 이 식은 가 됩니다. 그러면, 이 식의 값은 x가 -2일 때부터 2일 때까지의 를 전부 더한 것, 즉 x가 -2일 때에서 2일 때로 변화할 때 총 y값의 변화량이므로, 이 방법이 가능합니다. 

저도 똑같이 생각하는데, 어디서 불가능하다고 했나요?

아 참고로 저 식이 틀린 것은 x가 1 이상일 때 식이 가 되고, x가 1 미만일 때는 식이 가 되는 것이 아니라,

x의 절댓값이 1 이상일 때 식이 가 되고, x의 절댓값이 1 이하일 때 식이 가 되어서 그런 것 같아요(단순실수). -2도 그 절댓값은 1 이상이므로, -2의 경우도 식 에 대입해야 하고, 제대로 계산하면 답은 4가 돼요. 

아.. 문제를 찾았어요. 위 댓글과 마찬가지로 이라고 할 때, f(x)는 연속이 아니라서 그런 것 같아요. 식의 형태가 달라지는 점 x=1에서, 각 식에 x=1을 대입해 보면 한 식에선 3/4이, 한 식에선 -3/4가 나와요. 따라서 전체 y값의 변화량은 dy의 합과 다른 거에요. 

정확히 계산해 보면, 그 두 값의 차는 3/2라서, 전체적으로 생각해 보면 계산한 값인 8은 원래 값보다 3/2만큼 적은 상태라는 것을 알 수 있습니다. 여기서 계산해 보면, 실제로 8+3/2는 19/2가 됩니다. 

이것이 문제점이었는데, 만약 함수 f(x)가 연속적인 함수가 되지 않는다면, 연속적이지 않은 점에서 증가하는 값과 감소하는 값들을 전부 계산하여 정적분 값을 구할 수도 있겠네요. 

나중에 생각한 건데, 조금 더 정확히 말하자면, 위의 설명은 개념(직관이라고 해야 하는 건가요?)적으로 생각했을 때의 생각이고, 사실 공식적으로는 미분할 수 있는 것은 연속적인 함수라는 것을 생각해야 했던 것 같아요. 

그리고, 그것에 대해서는 같은 함수를 적분해도 구간마다 적분상수가 달라질 수 있다는 것을 생각해야 이해할 수 있을 것 같아요. 미분은 기울기가 중요한 것이므로, 최종 적분된 결과로 얻은 함수가 연속적이기만 하면 구간마다 적분상수가 달라질 수 있습니다. 그리고, 위에서 적분하려는 절댓값 식은 항상 적분상수를 같게 하면 연속적이지 않게 돼요. 그래서, 위에서 구한 x가 1 이하일 때와 1 이상일 때의 식의 차(3/2) 만큼 <x가 1 이상인 구간의 적분상수>가 <x가 1 이하인 구간의 적분상수>보다 작아야 합니다. 그래서, 그렇게 적분된 함수를 만들어 놓고 f(2)-f(-2)를 계산하면 결과값은 원래대로 나와요. 

제 생각엔 이 해석이 공식적으로는 맞는데, 그냥 개념적으로 봐도 되고, 그러면 전 댓글에서 말한 것처럼 하면 될 것 같아요.