폴리매스

문제 1번입니다.

지오보드에서 만든 삼각형은 세 점을 모두 잇는 직사각형을 그리면,사각형의 한 꼭짓점과 지오보드에 그린 두 점을 이용한 직각삼각형을 만들 수 있는데,이렇게 하변 만들어지는 세 삼각형은 빗변을 기준으로 180도 회전시키면 셋이 붙어 안의 삼각형을 완성시키니,안의 삼각형과 그 밖에 직사각형을 구성하개 하는 3개 의 직각삼각형의 넓이가 같으니,한칸의 길이가 1인 지오보드에서 이 직사각형 넓이는 자연수,안의 삼각형의 넓이는 그것을 2로 나눈 값이다. (물론,한 변이 길이 1일때는 직각삼각형이니 이 식 없이도 알아서 성립하게 된다.)

추가로,문제 3번과 같은 형태는 빗변을 대각선으로 하는 직사각형을 그리면 그 직사각형에서 주어진 삼각형 이외의 모양들을 밑변과 높이가 칸으로 이루어진 삼각형으로 나누면 전채 직사각형에서 정수×정수×0.5인 삼각형들을 빼니,남은 넓이는 자연수 또는 n.5 형태이니,무조건 자연수의 1/2 값이고,이것은 위의 다른 삼각형에서도 모두 성립하게 된다.

그러면 밑에 추가되어 있는 부분은 어떤가요? 원래 둔각 삼각형에 대해 제시한 것인데,여기서 윗부분에 만든 직사각형에서 정수의 밑변과 높이를 가진 삼각형들을 빼는 것은 문제 1에서의 그림에서도 적용이 가능합니다.(예각삼각형 또는 직각삼각형이요.)

문제1)

먼저, 임의의 삼각형에 대한 '외접 직사각형'(?)을 정의하겠습니다.

격자에 삼각형의 각 꼭짓점이 있으므로, 좌표를 매길 수 있습니다. 일반적인 좌표평면과 마찬가지로 1씩 증가하는 정수의 좌표를 x, y방향으로 매겼다고 합시다.

삼각형의 세 꼭짓점 모두를 고려하여 가장 작은 x좌표(=x_min)와 가장 큰 x좌표(=x_max)를 구합니다. 또한 가장 작은 y좌표(=y_min)와 가장 큰 y좌표(y_max)도 구합니다.

이제, (x_min, y_min), (x_min, y_max), (x_max, y_max), (x_max, y_min) 이 네 꼭짓점을 가지는 직사각형을 만들 수 있습니다. 이를 원래 삼각형의 '외접 직사각형'이라고 부르겠습니다.

임의의 삼각형에 대해, '외접 직사각형'의 넓이는 항상 자연수입니다. 왜냐하면, 가로와 세로의 길이 모두 자연수이기 때문입니다.

이제, '외접 직사각형'에서 몇 개의 직각삼각형을 제외하면 원래 삼각형을 구할 수 있습니다!

그 이유는 '외접 직사각형'의 각 변은 삼각형의 적어도 어느 한 꼭짓점을 포함하기 때문입니다. (포함하지 않는다면 '외접 직사각형'을 만들었던 방법에 모순됩니다. 좌표를 모두 삼각형의 꼭짓점 좌표 중에서 가져와 만들었기 때문입니다)

빼야 할 넓이는 항상 '외접 직사각형'의 꼭짓점 하나, 그리고 '외접 직사각형'의 변에 있는 삼각형의 꼭짓점 2개로 이루어져 있습니다. 또한 '외접 직사각형'의 꼭짓점의 각도는 직사각형의 한 각도와 동일하게 90도입니다.

지오보드에서의 직각삼각형은 항상 넓이가 어느 자연수의 1/2입니다. 그 직각삼각형은 자신의 '외접 직사각형' 넓이의 절반이고, '외접 직사각형'의 넓이는 자연수이기 때문입니다.

전체 삼각형의 '외접 직사각형' 넓이 즉 자연수에서 자연수의 1/2를 뺐습니다. 결국 답은 항상 1/2의 배수가 되고, 어떤 자연수를 2로 나눈 값이 됩니다.

(1) 삼각형의 넓이=삼각형 전체를 포함하는 직사각형의 넓이(어떤 직사각형이든지) - 몇몇 정사각형들의 넓이 - 몇몇 직각삼각형의 넓이로 표현될 수 있습니다. 

직사각형과 정사각형들의 넓이는 정수고, 직각삼각형의 넓이는 정수/2로 표현될 수 있으니 지오보드에서 만들 수 있는 삼각형은 항상 자연수/2꼴의 넓이를 가집니다.'

(2) 삼각형 내부의 한 점과 삼각형의 꼭짓점들을 각각 연결해 선분은 3개 만들면, 그 선분들로 나누어지는 3개의 삼각형의 넓이가 각각 1/2 이상이므로 전체 넓이, 즉 점을 한 개 이상 가지는 삼각형의 넓이는 3/2 이상입니다. 

+ 모든 삼각형의 넓이가 1/2 이상인 이유는 모든 삼각형의 넓이가 자연수/2 꼴이고, 자연수/2 >= 1/2 이기에 최소 넓이가 1/2이기 때문입니다.

(3) 먼저 내부나 둘레에 핀을 포함하는 경우를 증명하겠습니다. 내부--> (2)의 증명으로 3/2 이상입니다. 둘레 --> 둘레의 한 점이 포함되는 선분의 두 꼭짓점을 제외한 나머지 점과 그 둘레의 한 점을 연결해 선분을 만들면 그 선분으로 나누어지는 2개의 삼각형의 넓이는 각각 1/2 이상이고, 따라서 전체 삼각형의 넓이는 1이상이기 때문에 증명됩니다.

또한, 내부나 둘레에 점이 존재하지 않는 경우에는 픽의 정리로 1/2가 나온다. (픽의 정리를 쓰지 않는 방법이 있다면 댓글 다시면 감사합니다!)