200 이하의 소수 중 6개의 소수가 등차수열을 이룰 수 있나요?
여기서 공차가 홀수면 2번 안에 짝수가 나올테니 아니고
그럼 공차가 짝수란 말인데
(공차의)끝자리 숫자가 2: 소수 끝자리 숫자가 1,3,7,9 중 하나일텐데 이 중 어떻게 해도 3이 나오고, 그 다음이 5가 나오게 되니까 소수가 아닐거고
같은 방식으로 공차의 끝자리 수가 4,6,8도 안 되니까 공차가 10의 배수인데
- 22, 33, 55, 77,
- 1111, 1313, 1717, 1919,
- 2323, 2929,
- 3131, 3737,
- 4141, 4343, 4747,
- 5353, 5959,
- 6161, 6767,
- 7171, 7373, 7979,
- 8383, 8989,
- 9797,
- 101101, 103103, 107107, 109109,
- 113113,
- 127127,
- 131131, 137137, 139139,
- 149149,
- 151151, 157157,
- 163163, 167167,
- 173173, 179179,
- 181181,
- 191191, 193193, 197197, 199199
- 출처: https://numerus.tistory.com/56 [Numerus 공부방](왠진 몰라도 딴데서 복붙했는데 2번씩 써졌네요)
여기서 그런 경우가 있나요?
(그리고 이게 수학 정보가 맞나요?)
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우선, 그 등차수열의 공차는 6의 배수이어야 합니다. 만약 공차가 6의 배수가 아니라면, 그 수열의 세 연속한 항 p,q,r에 대해, q=p+d, r=p+2d인데,(d는 공차) 만약 d가 3의 배수가 아니라면, p,q,r중 적어도 한 가지는 3의 배수가 되고, p가 2의 배수라면 p,q중 한 가지는 2의 배수가 되게 되므로, p=2이고, 공차가 3의 배수이거나, p=3 이고, 공차가 2의 배수이거나, 공차가 3의 배수이어야 합니다.
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또, 가장 작은 수가 2나 3이면, 이 등차수열의 3번째나 4번째 항은 2의 배수나 3의 배수가 되므로, 가장 작은 수가 2,3이 아닙니다. 따라서 이 등차수열의 공차는 6의 배수여야 합니다. 또, 5에 대해도 마찬가지이므로, 이 등차수열의 공차는 30의 배수여야 합니다. 그런데, 만약 이 등차수열의 공차가 30보다 크면, 60 이상인데, 이 등차수열의 항은 6개이므로, 6번째 항은 최소 60×5=300이상이 됩니다. 이것이 200 이하여야 하므로, 공차는 60 이상이 될 수 없습니다. 따라서 이 등차수열의 공차는 30입니다.
이제, 등차수열의 어떤 항을 7로 나눈 나머지에 대해 생각해 보면, 이 등차수열의 공차는 30이고, 이것은 7의 배수가 아니므로, 가장 작은 소수를 p라고 하면, p,p+30,p+60,...p+30×6(공차가 7의 배수가 아닌 어떤 등차수열의 7개의 연속한 항) 중에는 무조건 하나는 7의 배수가 있게 됩니다. 따라서 p=7이거나, p+30×6이 7의 배수여야 합니다. 그리고, p+30×6이 7의 배수라면, p는 7로 나눈 나머지가 2가 되어야 하는데, p+180이 200 이하이므로, p는 20 이하이라는 것을 이용해서 가능한 p를 구할 수 있어요. 그런데, 7보다 크고 20 이하인 소수들을 전부 살펴보면, 그 중에선 7로 나눈 나머지가 2인 소수가 없습니다. 따라서 p=7일 때, 즉 이 등차수열이 7,37,67,97,127,157일 때만 가능해요. 이것은 소수를 판별하는 프로그램을 이용하면, 이 항은 모두 소수라는 걸 알 수 있어요.
따라서 200 이하의 6개의 소수 등차수열은 7,37,67,97,127,157만 가능해요.
