폴리매스

어느 날, 수동이는 우주여행을 떠나게 되었다. 그런데 우주복을 입고 우주선 밖에 있을 때, 실수로 우주복에 토를 했다. 그때 수동이를 가엽게 여긴 수학의 신께서 내려와서 문제를 풀면 수동이의 토를 없애주겠다고 했다. 질량 보존 법칙은...아 신이 나타나는 거부터가 위배되는구나 문제를 풀어 수동이를 도와주자.

<문제>

1보다 큰 모든 자연수 n과 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)에 대하여 x에 대한 방정식 {8-(-x)ⁿ}f(n^x)=0의 서로 다른 실근의 개수가 2 이상이고, 이때 서로 다른 모든 실근의 곱을 g(n)이라 하자. 함수 g(n)이 다음 조건을 만족시킬 때, f(x)=0의 두 근을 각각 구하시오.

조건 1.g(n)이 0 이하인 1보다 큰 자연수 n은 3밖에 없다.

조건 2.g(2)g(3)=-128