당신에게 임의의 예각 삼각형 ABC가 주어진다.
선분 AB, 선분 BC, 선분 CA를 지름으로 하는 세 구가 한 교점에서 만남을 증명하여라.
단순히 계산 노동을 통해 교점이 존재함을 보일수도 있으나 훨씬 간단한 방법이 있으니 생각해보자.
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이것도 좋은 문제같아 공개로 올립니다.(친구야 돌아와서 기뻐!)
예각삼각형ABC에서, AB의 중점을 E, BC의 중점을 F, AC의 중점을 G라 합시다. 이 세 구가 만나는 점은, 삼각형 EFG를 밑면으로 하고, 각 꼭짓점들에서 뻗어나가는 특정 길이의 3차원 벡터들(무정)(각도는 미정)이 만나는 점입니다. 또한, 구의 특성상, ABC가 결정되면, 그 벡터의 길이들도 각각 정해집니다. 길이와, 길이가 대응되어 결정되는 사면체는 하나밖에 없으므로(사실상 2개, 반대의 위치) 세 구가 한 교점에서 만납니다.
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임의의 예각삼각형을 한 면으로 갖는 등면사면체가 항상 존재하는지 묻는 문제네요.
음... 직관적으로 당연하기는 한데 굳이 참임을 보이자면...
예각삼각형 모양의 종이를 각 변의 중심을 이은 선을 따라 접는 상황을 생각해봅시다.
접을 때 꼭짓점이 서로 만나 사면체가 됨은 한 변에서 중심을 기준으로 나눈 두 선분이 만난다는 뜻입니다.
다르게 얘기하면 완전히 접었을 때 두 선분을 변으로 갖는 두 닮은꼴 삼각형이 만나거나 포개져야 합니다.
중심을 이은 삼각형은 종이 모양과 닮음이므로 이루는 각 또한 예각일 테고 선을 따라 접으면, '예각 < 평각 - 예각' 이기 때문에 반드시 포개집니다.
이는 종이를 접어 사면체를 만들 수 있고 꼭짓점이 한 점(세 구의 교점)에서 만난다고 볼 수 있습니다.
같은 방법으로 둔각삼각형의 경우는 교점이 존재하지 않다는 것도 알 수 있네요.
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