수학동아 - 폴리매스

자유게시판

수학을 주제로 떠들어 보세요!

[수학 정보] 수학난제같이 풉시다!

pure math 2022.03.11 23:56 조회 428

페이스북 트위터 카카오톡 카카오스토리 네이버블로그 네이버밴드

오늘 수학책을 보다 재밌는 수학 난제를 하나 봤어요. 워낙 수학 난제가 엄청나게 많기에 놀랍진 않지만 이번 문제는 재밌어서 가지고 왔습니다. 이 글이 진짜 폴리매스 프로젝트처럼 되면 좋겠네요.

이 난제는 가우스가 제시한 난제입니다. 자연수 n에 대하여, 1/n을 순환소수로 나타내었을 때, 최대 순환마디의 길이는 n-1이다. (공리)

1/n이 최대 순환마디의 길이를 순환마디의 길이로 갖는 n은 무수히 많다. (예로, 1/7 = 142857(순환마디) = (7-1)의 길이의 순환마디)

이 난제에 대한 저의 생각은 이렇습니다. 우선, 1/n의 순환마디는 비둘기 수가 되기 위해 n에 곱해야 하는 최소의 수입니다. 또한, 그 비둘기 수는 (n-1)자리여야 하므로

n의 첫번째 조건은 (10ⁿ-1)/n = 정수 입니다.

이 첫번째 조건에 대하면, 10ⁿ $\equiv$ 1 (mod n)입니다. 근데, 이것은 페르마의 소정리와 똑같죠? 고로, 일단 n은 소수나 10에 대한 카마이클 수 입니다.

n의 2번째 조건은, n보다 작은 p에 대하여 위의 조건을 만족하면 안된다는 것입니다. 즉, n이 최소의 정수여야 하는 것입니다.

같이 이것에 관해 토론해봅시다! 단, 아이디어는 제공할때 최대한 근거나 수식이 있어야 함.

이전글 심심한 켋의 오일러 프로젝트 2번 방출

다음글 콜라츠 추측 증명?

추천 6 목록보기

댓글 작성하기

진리를 찾아서 Lv.5 2022.03.13 02:12

별 정보는 아니지만 올려보자면... 우선 n은 소수입니다. 왜냐하면 2번째 조건에서 n-1보다 작은 자연수는 위 조건을 만족하면 안 된다고 했는데, n이 소수가 아니라면 n의 오일러 파이 함수값은 n-1보다 작을테고, 그러면 그 수에 대해서 1번 조건이 만족되므로, 모순입니다. 따라서 n은 소수이며, 그러면 1번 조건은 자동으로 만족되고, 2번 조건을 만족하려면 10이 n의 원시근이어야 합니다.

결국 '10을 원시근으로 가지는 소수 n은 무한한가?'로 생각할 수 있네요.

(p.s. 저 그런데...이거 난제 맞나요? 가능하다면 수학책 사진 좀 부탁드립니다.)

댓글 작성하기 좋아요0 댓글수1
- pure math Lv.7 2022.03.13 03:05
  
  A PHP Error was encountered
  
  Severity: Warning
  
  Message: mkdir(): Permission denied
  
  Filename: libraries/Common.php
  
  Line Number: 202
  
  Backtrace:
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 202
  Function: mkdir
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 236
  Function: getLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view_comment_list.php
  Line: 200
  Function: parseLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view.php
  Line: 343
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/controllers/ver3/Contents.php
  Line: 558
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/index.php
  Line: 315
  Function: require_once
  
  A PHP Error was encountered
  
  Severity: Warning
  
  Message: file_put_contents(/DATA/upload/polymath/latex/94dd7e00a5472499fd2d38e8553d8d48.gif): failed to open stream: No such file or directory
  
  Filename: libraries/Common.php
  
  Line Number: 213
  
  Backtrace:
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 213
  Function: file_put_contents
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 236
  Function: getLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view_comment_list.php
  Line: 200
  Function: parseLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view.php
  Line: 343
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/controllers/ver3/Contents.php
  Line: 558
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/index.php
  Line: 315
  Function: require_once
  
  A PHP Error was encountered
  
  Severity: Warning
  
  Message: mkdir(): Permission denied
  
  Filename: libraries/Common.php
  
  Line Number: 202
  
  Backtrace:
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 202
  Function: mkdir
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 236
  Function: getLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view_comment_list.php
  Line: 200
  Function: parseLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view.php
  Line: 343
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/controllers/ver3/Contents.php
  Line: 558
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/index.php
  Line: 315
  Function: require_once
  
  A PHP Error was encountered
  
  Severity: Warning
  
  Message: file_put_contents(/DATA/upload/polymath/latex/7541d65e0e0f1643ceaae082a34750f6.gif): failed to open stream: No such file or directory
  
  Filename: libraries/Common.php
  
  Line Number: 213
  
  Backtrace:
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 213
  Function: file_put_contents
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 236
  Function: getLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view_comment_list.php
  Line: 200
  Function: parseLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view.php
  Line: 343
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/controllers/ver3/Contents.php
  Line: 558
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/index.php
  Line: 315
  Function: require_once
  
  A PHP Error was encountered
  
  Severity: Warning
  
  Message: mkdir(): Permission denied
  
  Filename: libraries/Common.php
  
  Line Number: 202
  
  Backtrace:
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 202
  Function: mkdir
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 236
  Function: getLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view_comment_list.php
  Line: 200
  Function: parseLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view.php
  Line: 343
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/controllers/ver3/Contents.php
  Line: 558
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/index.php
  Line: 315
  Function: require_once
  
  A PHP Error was encountered
  
  Severity: Warning
  
  Message: file_put_contents(/DATA/upload/polymath/latex/7541d65e0e0f1643ceaae082a34750f6.gif): failed to open stream: No such file or directory
  
  Filename: libraries/Common.php
  
  Line Number: 213
  
  Backtrace:
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 213
  Function: file_put_contents
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/libraries/Common.php
  Line: 236
  Function: getLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view_comment_list.php
  Line: 200
  Function: parseLatexImg
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/views/ver3/inc/view.php
  Line: 343
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/application/controllers/ver3/Contents.php
  Line: 558
  Function: view
  
  File: /volume1/web/PhpstormProjects/www_polymath_co_kr/index.php
  Line: 315
  Function: require_once
  
  난제는 분명하게 맞습니다! 근데 지금은 핸드폰을 못 써서 사진은 안되네요... 나중에 사진 올리겠습니다!
  
  10⁽ⁿ⁾ $\equiv$ 1 (mod n)를 만족하는 소수 n이 무한개라는 것을 증명하는 것입니다! 그런데... phi(n) = n-1입니다! 고로, 10^n-1 $\equiv$ 1(mod n)입니다. (제가 1번 조건을 잘못 썼군요 10ⁿ이 아니라 10^n-1입니다.) 뭔가 문제와 똑같아진것 같긴 한데... 그리고, 일단 n은 소수이니 원시근은 반드시 있습니다.
  
  또한, n의 위수는 원시근의 약수이기에 약수인 경우 하나를 잡아서 꼬집으면 될 것 같네요.
  
  좋아요0