폴리매스

1.

1) A를 중점으로 하는 원 a와 원 B를 중점으로 하는 원 b를 그립니다. 이 두 원의 교점을 C, D라 합시다. C를 중점으로 하고 D를 지나는 원이 원 b와 만나는 점이 점 를 에 대칭시킨 점, 즉 E 입니다.

이유 : 선분 CD와 AB는 직교 하는데, 점 CDE는 정삼각형을 이루고, 선분 CD의 수직이등분선 위에 E가 있으며, B로부터 A와 E의 거리는 같으니 점 E가 점 를 에 대칭시킨 점이며, 작도 가능합니다.

2) E를 중심으로 하고 A를 지나는 원이 원 a와 만나는 두 점을 F, G라고 하면, F, G를 중심으로 하고, A를 지나는 두 원이 만나는 지점이 A와 B의 중점, 즉 M입니다.

이유 : 삼각형 AMF와 AFE는 닮음입니다.(1:2) 이때, 2AM = AF = AB가 되니 M이 A와 B의 중점이 되는 것이죠!

2.

1) B, C가 중심이면서 A를 지나는 두 원을 b, c라 하면 두 원의 교점이 두 개가 생기며, A가 아닌 다른 점을 A1이라 합시다. 1번 문제로, A와 A1의 중점을 작도 할 수 있으니 그것이 점 에서 선분 에 내린 수선의 발입니다.

이유 : A1은 A를 선분 BC에 대하여 대칭이동 한 것과 같으며, 선분 AA1의 수직이등분선이 선분 BC와도 같습니다. 그렇기 때문에 AA1의 중점이 점 에서 선분 에 내린 수선의 발인 것이죠.

2) 1번 문제와 같이 점 B를 A에 대칭시킨 점을 잡아 K라 합시다. 그리고, B를 중심으로 하고 C를 지나는 원을 b라 합시다. 또한, 이 컴퍼스를 그대로 옮겨 K에도 같은 방식으로 해줍니다. 근데, 상황에 따라 B를 K로 바꿔야 할 때가 있습니다. 즉, C와 더 먼 거리에 있는 점부터 컴퍼스로 시행해야 합니다. 자, 이제 이 두 원이 만나는 지점 두 개가 생길 것입니다. 근데, 여기서 C와 선분 BK에 대하여 반대쪽에 있는, 즉 더 먼 점을 잡아줍니다. 그리고, 이 점을 O라 합시다. O를 중심으로 하고, B, K를 지나는 원 o을 그려주면, 동시에 C도 지나게 됩니다. C를 지나게 하기 위해서 이렇게 한 것입니다. 

이제, 원과 선분의 교점을 찾는 방법으로 작도해봅시다.

A와 C를 중심으로 하고, O를 지나는 두 원을 a, c라 해봅시다. 그럼, O가 아닌 원 a, c가 만나는 점 O1이 생길 것입니다. 또한, 원 o의 반지름을 아니, 이걸 그대로 옮겨 점 O1을 중심으로 하고, 반지름이 같은 원 o1을 잡읍시다. 그럼, 원 o와 o1의 교점이 D가 되는 것입니다!

이유 : D는 직선 AC와 원 o의 교점입니다. 그 이유는 O1은 O를 직선 AC를 기준으로 대칭이동한 것이기 때문이지요. 또한, 방멱정리로 인해 이 되게 되서, 점 D를 작도 한 것입니다!

3. 

우선, C에서 AB에 내린 수선의 발을 K라 합시다. 또한, K에서 CD에 내린수선의 발을 L이라 합시다. 근데, 임의로 AB와 CD의 교점을 O라 합시다. 그러면, 직각삼각형의 성질로 인해서 CK² = CL * CO 입니다. 자, 이제 2번으로 O가 아닌, 앞의 수식을 만족하는 임의의 점 O'을 잡을 수 있습니다. 그러면, C를 중심으로 하고 O'을 지나는 원이 두 선분 AB, CD과 만나는 점이 바로 두 선분의 교점 O입니다.

이유 : CO'의 길이는 앞의 식을 만족하는 CO의 길이와 같음을 알 수 있습니다. 고로, C를 중심으로 하고 O'를 지나는 원이 선분 AB, CD와 만나는 점이 바로 점 O, 즉 와 의 교점을 작도한 것이죠.