폴리매스

현재 폴리매스 어셈블 강지원, 김준수 멘토님께 문제 풀이 확인 요청을 드렸어요~

조금만 기다려주세요!

문제에서 임의의 행에 2를 곱하거나 임의의 열에 1을 빼는 것은 랜덤으로 2가 곱해지거나 1이 빼진다는 것이 아니라 우리가 원하는 행에 2를 곱하거나 우리가 원하는 열에 1을 뺄 수 있다는 의미입니다. 우리의 목표를 이루기 위해서는 2를 곱할 행, 1을 뺄 열을 우리가 잘 선택해줘야겠죠?

흠... 그럴수도 있을거 같은데요?

그러면 특정 행만 2배가 되어서 성립하지 않습니다.

@pure math

특정 행이 2배가 되어 성립되지 않는다는게 무슨 뜻인지 잘 모르겠어요.

어떤 오류를 지적하시는지 물어봐도 될까요?

@바람개비

원하지 않는 다른 행, 열에 어쩔 수 없이 2가 곱해질 수 있다는 말입니다.

맞는 풀이인 것 같습니다! 실수로 '다시 도전'이 눌린 것 같습니다 ㅜㅜ

1. 열 하나를 정한다.

2. 그 열에서 1이 나올때까지 -1을 한다.

3. 1이나온 행은 곱하기 2를 한다.

4. 그 열에서 모든 수가 같아질때까지 2,3번 과정을 반복한다.

5. 그 열에서 모든 수가 같아지면 그 열에있는 수가 0이 될때까지 -1을 한다.

6. 1번으로 돌아가 다른 열을 고른다.

결국 모든 수를 0으로 만들 수 있습니다.

-실수로 비밀댓글을 해버렸네요-

@pure math

그런데 특정한 수가 2배가되도 계속반복해서 1을빼면 그 것도 0이됩니다.

예를 들어 2¹¹¹¹에서 1을 2¹¹¹¹번 빼면 0이 되잖아요.

모든 수를 0으로 만드는 맞는 방식입니다. 다만 이 방법이 왜 항상 잘 동작하는지에 대한 설명이 있어야 완전한 증명이 됩니다. 이를테면 왜 4번에서 2, 3번 과정을 반복하면 언젠가 모든 수가 같아지는 순간이 오는지에 대한 설명이 필요해요 (열에 있는 수들의 최대값이 1씩 줄어듭니다). 6번에서 1번으로 돌아가 다른 열을 고르는 과정을 반복하면 왜 결국 모든 수가 0이 되는지에 대한 설명도 필요하구요 (한번 0이 된 열은 이제 어떤 작업을 해도 계속 0이기 때문에, 0인 열의 수가 6번을 한번씩 거치면 하나씩 늘기 때문입니다)

추가: 밑에서 잘 서술해주셨네요!

네 번째 단락에서 식이 어떻게 유도된 건지 이해가 안 되네요...

식 유도 과정에 대해 간단한 설명이라도 남겨주셨으면 좋겠습니다 :)

그리고 제곱수를 적을 때에는 위 첨자(x²) 기능이 유용합니다.

쓰기도 편하고 수식을 깔끔하게 적을 수 있으니 한번 써보세요!

@바람개비

네 번째 단락이 어떤 건가요?

"n번째 행, k번째 열……"로 시작하는 문단부터 이해되지 않아요.

임의의 원소 x에 대해 연산을 적용한 최종값이 왜 '2^px ± 2^p-1 ± 2^p-2 ± … ± 2'인지, 최댓값과 최솟값이 왜 그런지, 비가 비슷하면 p, q가 왜 반드시 존재하는지 등 유도 과정을 모르고 설명이 모호해서 무슨 말을 하시는지 와닿지가 않네요. (제 수학 지식 부족일 수도 있고...)

각 숫자(행렬의 숫자)들은 -1을 하고, 2배를 하고, 이 과정을 계속 반복합니다. 오로지, 2배를 한 횟수를 p라고 한다면, 또한 숫자를 x라 한다면, 그 과정에서는 x-1 -> 2x-2...이렇게 될 것입니다. (-1 하지 않아도 됨) 계속 해서 최종 결과는 일단 2^p * x 로 시작하며, 뒤의 상수는 -1에 2를 차례차례 곱한 것이 되기에, 또한 각 숫자들마다 2를 곱한것이 하나씩 차이가 나기 때문에 그 식이 되는 것이고, 

제가 잘못 쓴 게 있는데 마지막, 최종 결과는 최댓값이 2^p * x이며, 최솟값은 2^p * x - 2^p +2 입니다. 이건... 수열의 합이니까... 넘어가겠습니다.

또한 말씀드렸다시피 모든 x, y에 대하여 p, q가 존재해야 하는데

두 행에 있는 모든 x, y에 대해서도 성립할려면 각각의 비율이 비슷해야 하는 이유는 비율이 비슷하면, 위의 식에서 2^(q-p)는 x/y와 비슷해야 하는데, (이건 두 식을 나누고 정리하면 됩니다) x나 y가 커져서 모든 행에 대하여 비율이 비슷해지면, 2^(q-p)도 비슷해지기에 적절한 q, p을 만들수 있기 때문입니다!

궁금하신 것이 있으면 또 물어보세요!

친절한 설명 감사합니다!

그런데 밑에 있는 설명까지 읽었는데도 의아한 부분이 있는데 제가 문제를 잘못 이해한듯해서 확인하고 다시 질문드릴게요 ㅋㅋ

어떻게 시행을 했을 때 '최대값'과 '최소값'을 얻을 수 있는 지 명확한 설명이 필요하고, '최대값'과 '최소값' 사이에 있는 모든 값을 실제로 시행으로 얻을 수 있다에 대한 설명이 필요합니다.

최댓값은 -1을 하지 않고 2배만 계속 했을 때이며, 최솟값은 -1을 계속 하면서도 2배를 계속 한 경우입니다.(-1 후에 2배 후에 -1...)

또한, 최댓값과 최솟값 사이의 모든 수를 만들 수는 없지만, (짝수만 가능하네요 헤헤) 짝수의 모든 수를 만들 수 있습니다. 그 이유는 x가 있는 항을 제외한 나머지 항을 살펴보면, 또한 그 전체를 2로 나누면, 2^(p-1)까지 있는 이진법의 경우와 동일해집니다. 그리고 그걸 다시 2배를 하면, 모든 짝수를 만들 수 있는 것이죠.

원하는 수(x를 제외한 상수, 글고 그 수의 절댓값)를 2로 나누고, 이진법으로 만든 후에 한 자리 밀려서 이진수를 만들고, 그 이진수에 1이 있는 곳에만 -1을 해주면 됩니다.

맞는 아이디어로 생각됩니다!

오오오오오오오오오ㅗ오오오오오오오오오오오오! 아 그리고 대한수학회 복소수도 다시 수정해서 맨 밑에다 다시 올렸스비다!!

3번째 문단부터 잘 이해가 되지 않아요. '2배를 하거나 -1을 해준다'는 것이 정확히 어떻게 (어떤 순서로 얼마나) 2배/-1을 적용하는 것인지, 그 결과가 왜 항상 x*2^p +- 2^(p-1) ... 꼴이어야 하는지 잘 모르겠습니다. 

pure math님 풀이를 보면 생각하시는 아이디어가 있는 것 같긴 한데, 그게 정확하게 전달이 안 되는 느낌을 자주 받습니다. 풀이에 대해 질답이 계속 이어지는 것도 그런 이유 때문인 것 같아요. 생각하는 아이디어를 어떻게 명확하게 서술할 수 있을지 더 단련하면 해결되는 문제인데, 어쩌면 올림피아드 문제 풀이를 참고하는 게 도움이 될 수도 있을 것 같습니다. 여기(https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=seamath&logNo=70176389027) 볼 만한 책들이 정리되어 있고, 개인적으로는 '엠제곱 수학올림피아드 셈본'이라는 책이 많은 도움이 됐어요. 혹시 더 궁금한 게 있으면 아는 한에서 알려드릴게요!

반드시 그렇게 하겠습니다!!!!!! 감사합니다!!!

아, 잘못 채점된거군요. 그럼 위의 질문은 무시해주세요. (이미 무시한 것 같지만...)

잘 해결했습니다!

한 열이 0이 되면 다른 열을 또 같게 만들기 위해 -1을 해야하는데 그러면 -1이 생겨서 안됩니다. 또한, 어떻게 같게 만들 수 있는지도 암밀히 증명해야합니다. 수학적으로 엄밀하게 증명하는 것이 중요합니다.

@pure math

먼저 열 하나를 000000이렇게 만든다음에

다른 열을 고르는 것인데 어떻게 -1이 나오죠?

2,3번을 반복하면 1이 있는 행만 곱하기 2를 하기 때문에

큰 수들은 -1을 할 때 점점 줄어들어 결국 1같은 수로 같아져 -1을 해서 0이 됩니다.

아하 그러네요 근데 어떻게 같게 만들 수 있는지는 증명이 필요할 것 같습니다. 증명을 해야되거든요

저도 맞는 방법 같습니다. 명쾌하네용

@유지연_매니저

이제서야 매니저님 댓글을 봤네요...

수냥이님, 아쉽네요ㅜㅜ

다음에 멘토링 등 대면으로 진행하는 행사가 있을테니 기대해주세요~!

깔끔하고 좋은 풀이인 것 같습니다!