폴리매스

새해 2022년이 밝은지 하루가 지났다. 2022는 한 가지 성질이 있는데, 0을 제외하면 자릿수를 이루는 숫자가 모두 2022의 약수라는 것이다. 작년인 2021은 2가 2021의 약수가 아니어서 이 성질을 만족하지 않는다. 이렇게 '자릿수를 이루는 0이 아닌 숫자가 모두 원래 수의 약수인 자연수'를 '폴리매스 수'라고 부르자.

(1) 1900~2100까지 폴리매스 수는 총 몇 개인가?

(2) 2022는 폴리매스 수이지만 자릿수 중 겹치는 숫자가 있다. 하지만 9036은 폴리매스 수도 맞고, 자릿수 중 겹치는 숫자도 하나도 없다. 이렇게 '폴리매스 수이면서 각 자릿수가 하나도 겹치지 않는 자연수'를 '제 1종 완전 폴리매스 수'라고 부르자. 1900~2100까지 제 1종 완전 폴리매스 수는 총 몇 개인가?

(3) 9036은 제 1종 완전 폴리매스 수이지만 자릿수에 0이 포함되어 있다는 것이 다소 걸린다. 그러나, 2448은 자릿수에 0이 전혀 포함되지 않는다. 이렇게 '폴리매스 수이면서 자릿수에 0을 포함하지 않는 자연수'를 '제 2종 완전 폴리매스 수'라고 부르자. 1900~2100까지 제 2종 완전 폴리매스 수는 총 몇 개인가?

(4) 9036은 0이 포함되어 있고, 2448은 자릿수 중 겹치는 숫자가 있다. 그러나 1926은 완벽하게 어느 것 하나 걸리지 않는다. 이렇게 '제 1종 완전 폴리매스 수이면서 제 2종 완전 폴리매스 수인 자연수'를 '완전 폴리매스 수'라고 부르자. 1900~2100까지 완전 폴리매스 수는 총 몇 개인가?

(풀이 필수)