김다인 멘토의 함께 풀고 싶은 문제
제로는 평면 위에 유한 개의 점을 찍었다. 이를 보던 에프매스는 다음과 같이 말했다.
"제로가 찍은 점들 중 임의의 두 개를 잡아도 이 두 점과 정삼각형을 이루는 제로가 찍은 다른 점이 존재하네!"
제로가 찍은 점의 개수로 가능한 수를 모두 구하시오.
힌트 : 가장 큰 정삼각형을 생각해보세요.
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@김다인(멘토)
한 꼭짓점과 내부의 한점을 잡아 이어, 외부의 점을 만들었을때, 삼각형에 외접하는 원 안에 점이 생기면 그 점으로는 더 큰 정삼각형이 생길 수 없습니다. 하지만, 꼭짓점이 아닌 원 안의 어떤 점이라도 그 점과 가장 먼 정삼각형의 꼭짓점을 이어 새로운 점을 만들면 원 밖으로 벗어나, 더욱 큰 정삼각형을 만들 수 있습니다. 이런 방법으로 무한히 많은 더욱 큰 정삼각형을 만들 수 있고, 이것은 유한한 점을 가지고 있다는 가정과 모순이기에 3개의 점만이 가능합니다.
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@김다인(멘토)
덧붙이자면, 정삼각형과 그것에 외접하는 원이 있을 때, 원 안에 있고 정삼각형 밖에 있는 임의의 점을 골라 그것과 가장 먼 정삼각형의 꼭짓점과 연결해 새로운 점을 만들면, 자취의 형태가 나타나고, 그 자취가 원래의 점이 정삼의 변이 아닌 이상 원을 벗어나기에 당연히 원 밖으로 벗어나게 되는 것입니다. 이는, 원 안의 점들을 다른 가장 먼 꼭짓점과 연결했을 때, 그 선분과 정삼의 변들이 이루는 각도가 0도가 아니고, 그것들로 정삼을 만들면, 각도가 60도를 이루며, 그 각도의 새로운 선분이 정삼각형을 벗어나기 때문입니다.
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