폴리매스

어떤 평면 위에 초점 F₁과 초점 F₂가 있다. 그리고 이 두 초점 F₁과 F₂의 중점을 O라 하고, O를 중심으로 하고 지름이 선분 F₁F₂ 보다 큰 원을 그리자. 또, 원위에 임의의 한 점 A에 대해 선분 AF₁의 연장선과 원의 교점중 A가 아닌 점을 B라 하자. 선분 AB를 한 변으로 하고, 원에 내접하는 직사각형 ABCD의 한 대각선 BD와 평행하고 점 F₁와 점 F₂를 지나는 선분 FE와 선분 HG를 그리고 점 F₁과 점 F₂를 초점으로 하고 점 E와 점 G를 지나는 타원을 그리자. 이때 선분 AD의 연장선 위에 있는 점 P와 점 P와 가장 가까이 있는 초점 F에 대해 선분 PF를 지름으로 하는 원과 원 O의 교점 중 A가 아닌 점을 A'라 하고 선분 PA의 연장선과 원 O의 교점 중 A'이 아닌 점을 B'이라 하자 선분 A'F의 연장선과 원 O의 교점 중 A'이 아닌 점을 D', 초점 F와 다른 초점 F'에 대해 선분 B'F'의 연장선과 원 O의 교점을 C'라 할 때 사각형 A'B'C'D'는 직사각형임을 증명하여라.

이 문제를 처음 보는 사람이 푸는 것은 불가능하다고 생각하기 때문에 풀이과정 단계를 힌트로 드리겠습니다.

[힌트]

1. 사각형 EFGH가 평행사변형임을 증명하고, 이웃한 두 변의 길이의 합이 원의 지름과 같음을 증명한다.

2. 타원 F₁F₂가 원에 내접함을 보인다.

3. 선분 PB'이 타원의 접선임을 보이고 각 PA'F가 직각임을 보인다.

4. 사각형 A'B'C'D'이 직사각형임을 보여라.

<참고>

뉴턴의 프린키피아