함께 풀고 싶은 문제
창의력을 기를 수 있는 수학 문제 또는 퍼즐을 내는 곳입니다.
http://www.polymath.co.kr/contents/view/33309?page=3
위 문제는 포도 문제입니다. '포도'에서 시작해, '포도'를 '포도 포 포도 도'로 치환하는 변환을 반복하여 얻는 문자열에 관한 문제죠. 이 포도 문자열에서 연속해서 나오는 '도'의 개수를 세 보면, 변환된 횟수에 따라
0: 1
1: 1, 2
2: 1, 2, 1, 3
3: 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4
...
이 됩니다.
1) 변환이 k번 된 수열은 변환이 (k+1)번 된 수열에 포함되는 것 같아 보입니다. 증명은 어떻게 할 수 있을까요?
2) 1)이 증명되면, n이 무한히 커짐에 따라 위 수열을 무한수열로 취급할 수 있습니다. 이 수열을 재귀적이지 않은 방법으로 어떻게 정의할 수 있을까요?
3) 그림을 그려주는 기계를 생각합시다. 기계가 가는 경로를 따라 선이 그려집니다. 기계는 수열이 주어지면, i=1부터 다음의 알고리즘을 반복합니다.
A. 수열의 i번째 원소만큼 전진한다.
B. 오른쪽으로 90도 회전한다.
C. i를 1만큼 증가시킨다.
이 기계에 포도 수열을 집어넣으면, 독특한 그림이 나오게 됩니다.
그림에서 정사각형이 6개씩 붙어서 덩어리를 이룸을 볼 수 있습니다. 또, 덩어리 사이의 간격을 조사해보면 원래 수열과 일치한다는 것도 찾을 수 있습니다. 이는 어떻게 증명할 수 있을까요?
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