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수학동아 - 폴리매스
함께 풀고 싶은 문제
깊이 고민해볼 수 있는 수학 문제를 내는 곳입니다
I^i^i^i^i^............이렇게 허수의 허수승의 허수승의......의 값을 구하시오(무한의 성질 이용 가능)
풀이과정 필수
문제를 만드신 분의 의도를 보자면, 위 식의 값을 k 라 하였을때, 무한의 성질에 의해 i를 밑으로 하는 지수의 값도 같은 k 가 나올 것이며, i를 밑으로 하기에 k 값은 1 , -1 , i , -i 넷중 하나일테며, 모두 대입시 k의 값으로 성립하는 것은 -1 밖에 없기에 답은 -1 이다 라는 내용의 풀이로 보이네요.
다만, 이 풀이는 틀린 풀이이고, 답도 또한 -1 이 아닙니다. 왜 그럴까요? 먼저 이러한 지수를 쌓아놓은 형태를 함수로 표현한 것을 power tower 함수라고 부릅니다. 정확히는 f(x)=x^x^x^x^x^...가 되고, 이 문제에서는 f(i)를 구하는 거겠네요.
한편, 이 함수는 결정적인 함정이 있습니다. 바로 어느 값들에선 값 자체가 계산할수록 그저 무한에 다가서기 때문에 특정 값들에서는 그 값을 k 로 잡는거 부터 모순점이 발생합니다. 따라서 이러한 문제의 꼴은 해석적 확장이라는 허수의 개념까지 계산 가능한 개념을 이용해야 합니다. 물론 허수 i 에 대하여 이 함수는 무한으로 가지 않습니다. 어떠한 특정한 값을 나타냅니다. 다만 그것을 유도하는 과정 자체가 워낙 상위 과정이고 복잡하다 보니 그것을 이 글에 담기 힘들것 같고, 출제자의 의도도 이러한 것은 아닌것 같네요.
마지막으로 지금까지의 글을 읽은 어떤 분들은 이러한 의문을 가지실 겁니다. 어차피 i 를 넣는 함숫값은 무한으로 가지 않으니 위 내용처럼의 풀이를 이용하여 풀이해도 되지 않을까? 그러나 위처럼 하더라도 틀린점은 있습니다. 바로 식 자체의 값이 -1 , 1 , i , -i 네개중 하나가 된다는 부분인데. 위 경우는 오직 k가 정수일때만으로 생각했을때입니다. k가 실수일때는 훨씬 더 광범위한 수들이 나오고, 심지어 k가 허수일때도 생각해야하니 이미 눈치채셨겠지만 이 문제는 그리 간단하지 않습니다.(k의 값은 실제로 허수입니다) 이러한 이유로 이 문제는 사실상 인터넷을 보지 않는 이상 왠만한 수학 전공자도 못 푸는 문제입니다... 출제자의 정확한 의도는 파악이 불가능하기에 잘 모르겠지만, 혹시 모르니 긴 글로 한번 알려 드려습니다.
더 자세한 정보는 여기를 참고해 주세요
<power tower 함수에 대해>
https://namu.wiki/w/%EB%AC%B4%ED
%95%9C%20%EC%A7%80%EC%88%98
%20%ED%83%91%20%ED%95%A8%EC
%88%98from=%EB%AC%B4%ED%95%
9C%20%ED%85%8C%ED%8A%B8%EB
%A0%88%EC%9D%B4%EC%85%9
<power tower 함수의 함숫값 구하기>
http://www.albertgural.com/math/theory/infinite-power-towers/
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