폴리매스

13번째 문제는

KPP 멤버 '안진후' 님이 만든 문제입니다

진후는 새해를 맞아서 가는 해와 오는해, 2018과 2019로 문제를 만들었다.

진후는 a, b, c, d 네 자연수를 이용해 2018을 위처럼 표현했다.

여기서 b와 d의 자리만 바꾸고 같은 계산을 하면 2019가 된다.

a가 미지수 중 가장 큰 수라고 할 때

a, b, c, d는 각각 얼마일까?

정답과 풀이는 비밀 댓글로 부탁드려요 ~:)

이름, 주소, 연락처를 남기는 것도 잊지 말기!

*KPP (Korean Puzzle Party)는 '퍼즐을 좋아하는 사람들의 모임'으로 퍼즐을 모으는 사람, 퍼즐을 만드는 사람, 퍼즐을 푸는 사람들이 모여 직접 만들고 수집한 퍼즐을 함께 풀어보며 이야기를 나눈다. 현재 두 달에 한 번 서울에서 정기적인 모임을 갖고 있으며, 퍼즐을 푸는 것뿐 아니라 퍼즐 관련 행사에 참여하거나 박물관에 다녀오는 등 다양한 활동을 하고 있다. 

스크롤 주의!

아래 정답이 있습니다!

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[13번 문제 정답]

a=184, b=5, c=183, d=6

[13번 문제 풀이]

①

주어진 식에서 곱을 생략하고 아래와 같이 적자. ad + cb = 2019 ab + cd = 2018

②

첫 번째 식과 두 번째 식을 더하면 다음 식을 얻는다. ad + ab + cb + cd = 4037

③

첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 다음 식을 얻는다. ad - ab + cb - cd = 1

④

②, ③에서 얻은 식은 각각 아래처럼 인수분해된다. (a + c)(d + b) = 4037 (a - c)(d - b) = 1

⑤

a가 가장 큰 수이므로 a-c는 0이상의 정수다.

이 수가 1의 약수이므로 a-c는 1이어야 하고, 그 결과 d-b도 1이다. 한편 a+c와 d+b는 2 이상의 수이면서 4037의 약수인데,

4037은 두 소수 11과 367의 곱이므로 하나는 11, 다른 하나는 367이어야 한다.

a가 가장 큰 수이므로 a+c=367, d+b=11이라는 것을 알 수 있다. 이제 각 연립방정식을 풀면 a=184, c=183, d=6, b=5이다.

-끝-