함께 풀고 싶은 문제
나도 수학쌤 문장제 문제를 변형해 문제를 내는 곳입니다.
[문장제 문제&개념응용] 피타고라스 수
c가 빗변인 직각삼각형의 세 변을 a,b,c라 하면 a²+b²=c² 가 성립한다.
이때 gcd(a,b,c)=1이면 원시 피타고라스 쌍이라 한다.
1. a,b에는 3의 배수가 있다.
2. a,b,c에는 5의 배수가 있다.
3. a,b에는 4의 배수가 있다.
이를 증명해보자.
또한 그냥 피타고라스 순서쌍을 보자
3이상의 수들은 모두 피타고라스 순서쌍에 포함되는가?
아니라면 어떤 반례가 있는지 들어보고 아니라면 증명해보자.
피타고라스를 입체로 접근해보자
직육면체에서 a를 가로 b를 세로 c를 높이라 하고 d를 빗변으로 한다면
a²+b²+c²=d²와 같이 구할 수 있다.
그렇다면 여기서 gcd(a,b,c,d)=1이라면 위의 1,2,3의 내용이 그대로 적용되는가?
그리고 순서쌍이 많다고 보장할 수 있을까?
이제 제곱수들의 합이 제곱수가 된다고 하자.
a²+b²+...=k²이다. 이것 역시 자연수 해가 무한한가?
그렇다면 세제곱수 k개 더했을 때를 생각해보자.
이때도 만약 제곱수가 나온다고 하자. 그렇다면
k가 어떤수이든 자연수해가 나온다는 걸 보장할 수 있는가?
이 문제 어떠셨나요?
좋아요
0
글쎄요
0
어려워요
0
닫기
