무한(
)이라는 개념은 종종 우리를 괴롭힙니다. 간혹 우리는 무한을 엄청나게 큰 숫자라고 생각하기도 하는데요. 이번 문제에서는 무한을 큰 '숫자'라고 해석하면 안된다는 점을 알아보려 합니다.
문제
양의 정수(자연수)들을 빨간색과 파란색 2가지의 색깔로 칠하려고 합니다.
(1) 양의 정수들을 2가지 색깔로 칠했을 때, 임의의 양의 정수 n에 대하여 길이가 n인 단색 등차수열이 존재함을 보이세요.
(2) 양의 정수들을 잘 색칠하여 무한 등차수열이 존재하지 않도록 할 수 있음을 보이세요.
(3) 위의 (1)과 (2)를 이용하여 무한을 '숫자'로 해석하면 안되는 이유를 설명하세요.
단, "단색 등차수열"이란 그 수열에 포함된 모든 숫자의 색깔이 같은 등차수열을 의미합니다.
부분문제
(1)에서 n=3인 경우를 해결하세요.
여담
학교 교육과정에서는 1, 2, 3, ...과 같은 숫자들을 자연수라 부릅니다. 하지만 국제 표준화 기구(ISO)는 0도 자연수로 취급합니다. 이처럼 무엇이 '자연수'인가에 대하여 혼란이 있을 수 있기에 수학자들은 '자연수'보다는 '양의 정수'라는 단어를 선호합니다. '양의 정수'에서 "양"은 0보다 크다는 의미를 담고 있어 명백하게 0을 제외시키기 때문입니다.
하지만 학교 교육과정에서는 자연수를 먼저 정의하고 이를 이용하여 정수를 정의하기 때문에, 자연수를 "양의 정수"라 정의하게 되면 순환 논리의 오류에 빠지게 됩니다.
더 생각해보기
그렇다면 자연수를 이용하지 않고 정수를 어떻게 정의할 수 있을까요?
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